Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А
энергия частицы Е=К+mc2 , где m – масса покоя частицы – с
одной стороны, Е=с |
|
|
|
|
|
|
– с другой. Из этих соотношений |
||||||||||||||||||||||||||||
получаем: p |
2 |
=К(К |
+2mc2 )/c2 , p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/c . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
р |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Длина |
|
|
|
волны |
|
де-Бройля ( |
релятивистской |
частицы |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
λD= |
( |
|
ħ |
|
|
) |
= |
|
|
|
|
|
( |
ħ |
|
|
) |
. Для |
c |
|
λ |
= |
√ |
|
ħ |
|
. Отношение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λD и λ |
|||||||||||||||||||||
/λD= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительное |
|
отличие |
|
длин |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
λ |
|
|
|
|
1+ |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
составляемλ 1+К= |
/2 |
|
=|1. - /λD|= |
|
|
|
|
-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
того, |
чтобы |
|
|
= |
|
0,01, необходимо |
выполнение |
||||||||||||||||||||||||
условиеДля |
|
|
|
|
|
|
1,01, |
≤т.е. К/2mc2 |
|
0,02, |
или К |
|
0,04 |
mc2 . Для |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
≤ |
≤ |
≤ |
|||||||||||||||||||||||||
электрона |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
К |
|
|
20,5 кэВ, протона К |
|
37,5 МэВ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.94. |
≤Дебройлевская длина≤волны |
электрона, |
кинетическая |
||||||||||||||||||||||||||||||||
энергия которого К, |
равна λ=2πh/ |
|
2 |
(1+ |
|
|
) |
(см. |
задачу 5.93), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
компотоновская же длина волны λс=2πh/mc. Равняем эти выраже-
ния и получаем: 2mK(1+K/mc2)=m2c2 =>K2+2mc2K – m2c4 =0 =>
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K=-mc2 |
+ |
√ |
+ |
К |
|
√2 |
|
||
|
|
|
|
=( -1)mc2. Для электрона |
|||||
|
|
|
|
|
=0,41 0,511 МэВ=0,21 МэВ. |
||||
5.95. Приведем соотношение |
между длиной коротковол- |
||||||||
новой границы сплошного рентгеновского спектра и кинетичес-
кой энергией К ускоренных электронов 2πc /λ |
|
=eU=K, а затем |
||||
воспользуемся формулой λD =2πc |
ħ |
/ |
( +2 |
) |
. При этом |
|
|
ħ |
k |
|
|||
61
=3,3 пм. |
1+ |
|
|
1+ λ mc/πh |
|
∙ , |
∙ |
|
|
|
λD=λk/ |
|
|
=λk/ |
|
=10,0/ |
, ∙ |
∙ , |
∙ |
∙ ∙ |
= |
|
|
|
5.96. Дифракцию электронов на узкой щели будем рас-
сматривать как дифракцию плоской волны де-Бройля, длина которой
λ=2πħ/m . Условие минимумов дифрагирующей от одной щели волны имеет вид b sinφm =mλ. В данном случае m=1, sinφ1 tgφ1
∆ / |
= |
∆ |
. Имеем равенство b |
∆ |
= |
ħ |
, из которого находим скорость |
|||||||||||||
электронов |
=4π ℓ/(mb |
|
). При заданных значениях b=1,0 мкм, |
|||||||||||||||||
ℓ=50 см и |
Δx=0,36 мм скорость υ=2,0·106 |
м/с. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ħ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5.97. Импульс каждого из ускоренных электронов Р= |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
соответствующая длина волны де-Бройля |
λ=2π / |
|
. |
Положение |
||||||||||||||||
|
|
|
√2 |
|
|
|||||||||||||||
первых двух соседних максимумов |
дифракционной картины на экра- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
ħ √2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
не определим условие dsinφ1 =λ и dsinφ2 =2λ. При этом sinφ1 |
x1 /ℓ, |
|||||||||||||||||||
sinφ2= x2/ℓ, где x1и x2– расстояния от центра картины до |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отмеченных |
||||
максимумов. Получаем равенство d(sinφ2- sinφ1) = λ, т.е. Δx= x2–x1= = λ. Здесь Δx – расстояние между интересующими нас максиму-
мами, d – расстояние между щелями. Подставляя выражение для λ,
находим Δx= |
|
|
. Длязаданныхзначенийℓ, dиUΔx=4,9мкм. |
|||
|
|
|||||
|
√ |
|
|
|
||
5.98. Сопоставляя пучку моноэнергетических электронов |
||||||
длину волны вероятности (волны де-Бройля) λD=2π |
|
/p, восполь- |
||||
зуемся формулой Вульфа-Брэгга 2dsin =nλ |
(n=1,2…), определя- |
|||||
|
ħ |
|
||||
ющей условие дифракции монохроматического рентгеновского
62
луча при отражениях от атомных плоскостей, параллельных поверхности кристалла. Здесь d – межплоскостное расстояние -
угол скольжения, n – порядок максимума интенсивности дифра-
гирующих лучей.
В формулу Вульфа-Брэгга вместо λ будем подставлять λD .
Длиныволн де-Бройлядляэлектронов, ускоренныхпотенциалами
U1=U0 и U2=ηU0: λ1=2πħ/P1=2πħ/ 2meU , λ2=2πħ/P2=2πħ/ 2ηmeU .
Отсюда λ1/λ2= η. Согласно формуле Вульфа-Брэгга имеем: 2dsinθ=nλ, 2dsinθ=(n+1)λ2.
Получаем: (n+1)λ2=nλ1 => 1+ |
|
= λ1/λ2 => |
= η-1 => n=1/( η -1); |
||||||||||||||
2dsin |
θ |
|
( η |
|
2 2 |
θ |
= |
( |
|
) |
ħ |
2 2 |
2 |
|
|||
|
= λ1/ |
|
-1) => 2dsin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
Отсюда находим U0 = π |
|
/[2me( |
|
-1) |
|
d |
sin |
]. В частности, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=150В = 0,15 |
2,25 |
-1)2 ∙(0,2∙10-9 )2 sin2 300 ] = |
||||||||
|
2 |
|
2 |
∙10 |
-68 |
/[2∙0,91∙10-30 ∙1,6∙10-19 |
( |
|
|
|
|||||||
U0 = π ∙1,05 |
|
|
|
ħ |
|
|
|
η |
|
|
|
|
θ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кВ. |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5.99. Будем исходить из общности |
||||||||
|
|
|
|
описания дифракции рентгеновского излу- |
|||||||||||||
|
|
O |
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
чения и дифракции электронов на крис- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
d |
|
|
|
B |
|
||||||||||||
|
|
|
таллической |
решетке |
простого вещества |
||||||||||||
d |
|
A |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(см. задачу 5.98), |
заменяя длину рентге- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
новского луча λ длиной волны вероятности λD ускоренных элек-
тронов. В соответствии условиям задания на рисунке показаны направления падающего и рассеянных на атомах двух плоскостей рентгеновских лучей. Из рисунка видно, что оптическая разность
63
хода рассеянных |
лучей 1 |
и 2 равна Δ=ОА+АВ=d+dcos |
= |
||||||||||||||||||||||
=d(1+cos )=2dcos2 |
|
|
. Для наблюдения максимума интенсивности |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
дифрагирующих лучей 1 и 2 в направлении угла |
необходимо |
||||||||||||||||||||||||
выполнение |
условия |
Δ=nλ, |
т.е. 2dcos2 |
|
= nλ, где |
n |
= 1,2,… |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
порядок |
максимума. Длина |
волны де-Бройля λD=2π |
/ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
√2 |
|
||||||||||||||||||||||||
Подставляя λD вместо λ в условие максимума, получаем:ħ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2dcos2 |
|
|
= |
|
|
ħ |
=> d = |
|
|
|
ħ |
|
|
. Для заданных значений К, |
, n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
межплоскостноерасстояние
d= |
, |
, |
|
, |
=0,21·10-9 м=0,21 нм. |
|
|
, |
|
5.100. Дифракцию ускоренных электронов, проходящих через металлическую фольгу, рассмотрим как дифракцию рентгеновского луча с длиной волны λ, заменяя λ на длину волны
вероятности λD=2π /P=2π / |
. Разность хода лучей 1 и 2 (см. |
||||||||||
=d(1–cos |
|
)=2dsin2 |
|
|
. Из условия диф- |
||||||
рисунок) равна Δ=ħОА–ОВħ √2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dsin2 |
|
=2πħ/√2 |
|
|||||||
ракционного максимума Δ=nλ, т.е. |
|
находим |
|||||||||
|
|||||||||||
межпласкостное расстояние d: |
d= |
|
√ |
|
ħ |
|
|
, где n– |
порядок |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
максимума, =arctg( ). Для заданных значений К = 10 кВ,
d = 3,20 см, ℓ = 10,0 см и n = 3 получаем: = tg 0,16 = 90 10 ,
64
sin = 0,159; d= |
∙ |
, |
∙ |
∙ , |
= 21,2∙10-11 м = 0,21 нм. |
|
∙ , ∙ |
∙ |
∙ |
∙ , |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
O |
A |
z |
|
|
|
|
d |
|
|
5.101. Показатель преломления n металла для ускоренных электронов определяется отношением длины волн де-Бройля λ в
вакууме к ее длине λi внутри кристалла, т.е. n = λ/λi . Допустим,
что кинетическая энергия электронов в вакууме К = eU, где U –
ускоряющая разность потенциалов. В кристалле металла кинети-
ческая энергия электрона увеличится на глубину потенциальной ямы и станет равной Кi=e(U+Ui ), где Ui – внутренний потенциал
кристалла. Поскольку длина де-Бройлевской волны λD ~ |
√ |
|
|
, показа- |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
тель преломления n = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. Для U = 150 B и U |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1+-1 |
|
||||||||||||||
=15 В n = 1,05. Рассмотрим( + |
условие)/ |
/η : |
|
|
|
|
|
|
i |
||||||||||||||
|
|
≤ |
|
|
|
|
2 |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
( ) |
|
||||
1+ |
|
(1+η) , |
η(η+2) => |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0,01 отношение |
|
|
50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для η =5.102. Собственные≥значения |
энергии частицы, |
находя- |
|||||||||||||||||||||
щейся в одномерной потенциальной яме определяются выраже-
нием = |
,, |
/(2m |
|
ħ ) |
(1), где n=1,2… Поскольку уравнение |
Шредингера |
|
|
65 |
||
ħ |
|
ℓ ) |
=0 нерелятивистское и потенциальная |
||
|
|
+(2mE/ |
|
|
|