Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

энергия частицы внутри потенциальной ямы U=0, энергия частицы для каждого n получает смысл кинетической. Длина волны де-Бройля частицы для произвольного состояния

λ=2πħ /√2 (2). Удовлетворим длину λ условию ℓ=(λ/2)n, где n=1,2…. Получим:

2ℓ/n=2π

(3)

Верно

утверждение2mE

. Подставляя выражение

и обратное

ℓ .

E=4 ħ /(2m

), полученное из равенства (2), найдем:

=> =

/2,

т.е. ℓ =

/2.

5.103. Не повторяя элементарную теорию Бора атома водо-

рода, приведем формулы, определяющие радиус n-й круговой орби-

ты электрона и соответствующее значение кинетической энергии:

, =

. Здесь k=1/4π

, n=1,2…. Длина волны де-

Бройля

для электрона на n-й

орбите

атома водорода

λ =2πħ/

2mK

. Отношение длины орбиты электрона к длине де-

бройлевской волны

∙

=n.

Итак, С =2π =n , т.е. кратность длины электронной орбиты длине соответствующей волны де-Бройля.

5.104. Обратимся к соотношению неопределенностей

импульса p=

и координаты x=r, т.е. Δp Δr

. Для наименьших

ошибок

∙

≥ ħ

измерений величин p и r Δp Δr=

. При оценке скорости

частицы имеем ошибку

/m Δr, Δr=∙

1ħмкм.

1)электрон:

=1,05

∙

∙1∙10

=1,15

см/с;

2)протон:Δ

1,15∙10

/1840∙10

≈ 115 м/с

∙10

≈

∙10

/(0,91

≈ 6см/с

3)частица

;

см/с

массы m=1 мг:

∙

∙∙ ∙

м/с 1

м/с=1

см/с.

≈

∙10

5.105. Неопределенность скорости электрона в атоме водоро-

да,

полагая

размер

атома

ℓ=0,10

нм,

υ ≈

∙

=1,2ℓ

∙10

= 9

/1,05

, ∙м/с. Скорость∙ , ∙

электрона на первой боровской орбите в

=2,2

м/с.

∙10

∙1,6.

∙10

атоме водорода

≈ 55%

∙10

Отношение

5.106. Неопределенность скорости частицы

Для Δx=λ/2π, где λ=2π

=2π

/m ≈- длина∙

√2

волны де-Бройля.

Неопределенность

≈

∙

=υ.

Итак, Δυ≈ при неопределенности положения частицы

Δx= /2π.

5.107. Полагая

, из соотношения неопреде-

ленностей

находим:

Область

≈

≡

∙

)

локализа-ции

электрона спустя время t Δx

∙

≈ ħ

≈ ħ/(

∙

Для t=1 с и

ширина локализации ≈

≈ ħ /(

Δx

= 0,1нм/(0,9

км.

≈ 1∙10 ∙1

∙10

∙0,1∙10 ) ≈ 10 м 10

5.108. Оценку энергии электрона, локализованного в области

размером ℓ=0,20 нм сделаем по соотношению неопределенностей

Δp∙Δℓ ≈ ħ, полагая Δp≈ p = mυ, Δℓ≈ ℓ.

Имеем mυℓ ≈ ħ =>υ ≈ ħ/mℓ . Кинетическая энергия электрона

≈

∙

ħℓ

. Для ℓ=0,2 нм кинетическая энергия

электрона

∙ , ∙

∙

∙ , ∙

Дж = 1,5∙10

Дж = 0,94эВ ≈ 1эВ.

5.109. Скорость электрона определим значением υ=

с неопределенностью Δυ=

/mℓ. Относительная ошибка

представ-

2 /

ℓ

= ħ/(ℓ√2mK)

Для ℓ≈1 мкм и K≈4эВ, ошибка

ления скорости частицы равна Δυ/υ=

=1∙10 .

Δυ/υ=

∙

∙∙

∙ ∙

, ∙

5.110. При минимальной энергии частицы неопределен-

ность ее импульса Δp может принять равной импульсу, т.е. Δp=p;

неопределенность локализации Δx=ℓ. Тогда согласно соотноше-

нию Δp∙Δx ≥ ħ импульс частицы можно определить значением

p≈ ħ/ℓ.

Сила давления на стенку является классической характерис-

тикой взаимодействия частиц со стенкой. В рассматриваемом случае мы имеем одну частицу, которая совершая за единицу времени большое число столкновений со стенкой. Такая классическая точка зрения поможет найти силу давления F на потенциальную стенку.

Промежуток времени между двумя последовательными столкнове-

ниями (период) T =2 ℓ/υ	=2ℓ/(p/m)=2mℓ			∙	ħℓ	=2m		ℓ	/ ħ ;
следовательно, частота столкновения				и			ħℓ	. Энергия
частицы в потенциальной	яме	E=const					имеем		смысл
			Ɣ = 1/	=

кинетической энергии поскольку внутри ямы потенциальная энергия частицы со стенкой абсолютно упругое. При столкновении, частица передает стенке импульс 2p.


Следовательно, сила давления F=2p =2		ħℓ	∙	ħℓ	=	ħℓ	.
Оценку силы давления F	можно			получить с помощью
Оценку силы давления F	ν ∙

других моделей.

5.111. В момент прохождения электронов через выходное отверстие электронной пушки размером d, равном диаметру следа на экране лучевойтрубки, имеютнеопределенностьпоперечнойлокали-

зации	=	и соответственно этому появляется неопределенность
импульса				Вследствие дифракции существует
		что электроны далее будут двигаться в пределах
вероятность того≈,ħ/			= ħ/ .

угла 2φ, где φ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь).

Следовательно, неопределенность попадания электронов на экран

лучевой трубки Δx

Теперь представим sinφ

Из

Поскольку p=

≈

/ ,

или Δx

≈ ℓ

≈ ℓħ/

сравнения

получаем≈ ℓΔx/ℓ

≈

/ . .

ℓ=20 см,

√2

Δx

≈ ℓħ/√2

. Для d=0,5мм,

U=10 кВ неопределенность координаты электрона на

экране Δx≈ 0,2∙1∙10

2∙0,9∙10

∙1,6∙10

∙10∙10

≈ 10

м.

5.112. Потенциальная

энергия частицы

U=k

; сила,

действующая на частицу F=-dU/dx=-kx, круговая частота колеба-

ний

ω=

;

полная энергия

частицы

Е=

. Поскольку

поставлен вопрос о минимальном значении энергии E, примем

Из≈

≈

∙

≈ ħ =>

≈

Δp

Δx

Тогда Δp

и энергия E=

условия dE/dx=0 найдем стационарную точку

, а затем

−

= 0,

√

;

(

) =

(ħ/

)

= ħ

где

ω=

– круговая частота. Квантово-

механическое решение задачи дает

= ω/2.

задачи таков же, что и

5.113. Алгоритм решения данной ħ

5.112.

Принимаем

Δp

≈

Δr

≈

. Энергия

электрона

атома

водорода

≈

−

эф

Е=

где k=1/4π

. Эффективное расстояние

электрона

от

ядра

атома

минимально возможное

= 0

значение энергии электрона найдём из условия

Смотрите также:

kibalnik
Искусство переговоров как условие успешного бизнеса
Маркетинговое исследование предприятий Apple и Samsung
Мимесис Платона в контексте различных интерпретационных стратегий
Общие сведения по малогабаритным электромагнитным реле
Преподаватель и студент, как равноправные субъекты образовательной программы
Психологическая подготовка дзюдоисток в тренировочном процессе
Рейтингове оцінювання та управління в економіці
Символическое пространство калининградского текста