Материал: Основы проектирования РН Куренков

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Анализируя выражения (8.18) и (8.19), приходим к выводу, что для выполнения условия оптимальности при одинаковых значениях конструктивных характеристик ракетных блоков первой и второй

ступеней ракеты, то есть при условии s1 s2

s (а также при

условии, что значения удельных импульсов топлива и двигателей первой и второй ступеней ракеты-носителя одинаковы), числа Циолковского первой и второй ступеней ракеты должны быть равны.

8.3. Постановка и решение задач оптимального распределения массы ракеты-носителя по блокам численными методами

Рассмотренный выше метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет получить в аналитическом виде решения задач оптимального распределения масс по блокам ракеты только для схемы с последовательным соединением ракетных блоков и при равных удельных импульсах топлива на всех ступенях ракеты.

Численные методы оптимизации позволяют находить оптимальное распределение масс по блокам ракеты при различных схемах соединения и различных удельных импульсах ракетного топлива.

Рассмотрим постановки задач математического программирования для численного их решения применительно к следующим схемам соединения ступеней ракеты:

-с последовательным соединением (так называемая схема "тандем");

-с параллельным соединением без перелива топлива из одних ракетных блоков в другие (схема «пакет без перелива»);

-с параллельным соединением и переливом топлива из одних ракетных блоков в другие (схема "пакет с переливом");

-с параллельным соединением ракетных блоков первой и второй ступеней и последовательным соединением ракетных блоков второй

итретьей ступеней (так называемый "трехступенчатый пакет") без перелива и с переливом топлива;

-с параллельным соединением ракетных блоков первой, второй

итретьей ступеней и последовательным соединением ракетных блоков третьей и четвертой ступеней без перелива топлива;

161

- схема "трехступенчатый пакет» с дополнительными

стартовыми ускорителями.

 

 

 

 

 

8.3.1. Схема с последовательным соединением ракетных блоков

Постановка задачи

 

 

 

 

 

Расчетная схема представлена на рис. 8.1.

 

 

Необходимо отыскать такое распределение масс по ступеням ра-

кеты-носителя, при которых стартовая масса ракеты является мини-

мальной при заданной массе полезной нагрузки. Такая постановка

задачи будет равносильна следующей постановке: необходимо оты-

 

 

скать такое распределение масс по ра-

 

 

кетным блокам, при которых обеспечи-

m

mK 3

вается

минимальное

значение относи-

ПН

 

 

 

 

 

 

 

 

тельной массы полезной нагрузки (при

mБ 3

m

заданной массе полезной нагрузки).

 

Т 3

 

 

 

 

 

 

 

Математическая

формулировка за-

 

mK 2

дачи

математического

программирова-

 

ния в этом случае записывается следую-

mБ 2

 

mТ 2

щим образом:

 

 

 

 

 

 

 

p

min ,

 

(8.20)

 

 

 

0

x H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mK 1

где p0 -

относительная масса полезной

 

 

 

 

 

 

 

 

нагрузки;

 

 

 

 

 

 

 

mБ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H –

множество допустимых значе-

 

 

 

 

 

 

 

 

mТ 1

ний варьируемых переменных x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что множество допусти-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мых значений x обычно задается в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) xj min x j x j max ;

j 1, m

(8.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (или) в виде функций ограничений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) qk xi 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1, p .

(8.22)

Рис. 8.1. Схема "тандем"

 

 

 

 

 

 

 

 

Для того чтобы получить целевую функцию и функции ограничений в полной формулировке, проведем некоторые математические выкладки.

162

В качестве исходной зависимости используем отношение стартовой массы ракеты к массе полезной нагрузки:

p

m0

.

(8.23)

 

0

mПН

 

 

 

Стартовую массу ракеты-носителя можно представить в виде следующей суммы:

 

 

 

N

 

 

 

m0

mПН mБ i

,

 

(8.24)

 

 

 

i 1

 

 

 

где mПН

- масса полезной нагрузки;

 

mБ i - масса i-го блока РН;

 

N – количество ракетных блоков или ступеней РН.

 

Подставляя выражение (8.24) в (8.23), получим

 

 

 

m

N

mБ i

 

 

p0

 

0

1

 

.

(8.25)

mПН

mПН

 

 

i 1

 

 

Массу блока попытаемся выразить из следующего известного соотношения для конструктивной характеристики ракетных блоков:

si

 

mБ i

,

mБ i

mT i

 

 

 

где mT i - масса топлива i-го ракетного блока.

Решая это уравнение относительно mБ i , получим

mБ i si mT i . si 1

Подставляя (8.27) в (8.25), получим

 

m

N

s

 

mT i

 

p0

0

1

 

 

 

.

mПН

s 1

mПН

 

i 1

 

 

Введем обозначение

xi mT i mПН

и приведем выражение (8.28) к виду

(8.26)

(8.27)

(8.28)

(8.29)

163

 

m0

N

s

 

 

p0

1

xi .

(8.30)

mПН

s 1

 

i 1

 

 

Таким образом, мы получили целевую функцию (см. выражение

(8.20)).

Математическая формулировка задачи будет следующей:

p xi min;

 

 

 

 

 

 

 

i 1, n;

 

 

 

(8.31)

 

 

x j H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или в развернутом виде

 

 

 

 

 

N

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

min;

i 1, n .

(8.32)

 

 

 

(s 1)

i

x

H

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

j

 

 

 

 

Получим выражения для ограничений на переменные xi H на

основе следующих рассуждений.

Функция ограничений в общем виде выражается формулой (8.9):

V потр w ln z

w ln z

2

... 0 .

(8.33)

X

1 1

2

 

 

Однако числа Циолковского в этой функции необходимо выразить через параметры xi . Проделаем это.

Поскольку число Циолковского есть отношение начальной массы ступени к массе ступени после выработки топлива, то можно с учетом (8.30) и (8.29) записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

m01

 

 

 

 

 

 

 

mПН

 

 

 

 

p0

 

 

p0

.

(8.34)

m

m

 

 

 

m

 

 

 

 

mТ 1

p

mТ 1

p x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

Т 1

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mПН

 

 

mПН

 

0

 

mПН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно с учетом (8.30) получаем

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

i 1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.35)

 

N

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

xi x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Также можно выразить через параметры xi число Циолковского для второй ступени:

164

 

 

 

N

 

 

si

 

 

 

 

 

1

 

 

 

xi

 

 

 

si

1

 

 

z2

 

i 2

 

.

(8.36)

N

 

 

 

si

 

 

 

 

1

 

 

 

xi x2

 

 

 

si

 

1

 

 

 

i 2

 

 

 

 

 

Аналогично можно выразить через параметры xi числа Циол-

ковского для третьей и последующих ступеней ракеты, если они имеются.

Подставляя выражения (8.35) и (8.36) в (8.33), получаем функцию ограничений в виде

 

 

 

N

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si

 

1

 

 

 

 

 

 

V потр w ln

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

1

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

xi x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 si 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si

1

 

 

 

w ln

 

 

i 2

 

 

... 0 . (8.37)

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

xi

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 2

 

 

 

Кроме того, следует составить функции ограничений, исходя из реализуемых в настоящее время значений чисел Циолковского (по статистике) или из физических соображений. Это могут быть, напри-

мер, следующие ограничения:

 

 

 

z1 1,0 ;

z1 10 ; z2 1 ;

z2 10 ;

Z z1 z2 z3 30 .

(8.38)

Подставляя (8.35) и (8.36) в каждое из выражений (8.38), можно получить несколько функций ограничений (которые здесь приводятся в общем виде):

q2 (xi ) 0; q3 (xi ) 0; q4 (xi ) 0; q5 (xi ) 0; q6 (xi ) 0 . (8.39)

Решение задачи

Задача математического программирования (8.32), с учётом ограничений (8.37) и (8.39), решается каким-либо численным методом.

165

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия