Материал: Основы проектирования РН Куренков

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

8. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ ПО СТУПЕНЯМ

И РАСЧЕТ СТАРТОВОЙ МАССЫ РАКЕТЫ

Выбор характеристик масс ступеней ракеты-носителя осуществляется в результате решения оптимизационных задач.

Прежде чем приступить к задачам оптимизации масс ракетных блоков, напомним постановку задач математического программирования.

8.1. Задачи математического программирования

Общая запись задачи математического программирования сле-

дующая:
F x	min;
F x	min;	i 1, n ,	(8.1)
i	xi H

где F (xi ) - целевая функция параметров xi ;

xi H - запись ограничений (Н – множество допустимых значений параметров xi );

n – количество переменных.

Ограничения xi H могут быть двух типов:


а) x j min x j	x j max ;	j 1, m;			m n ,	(8.2)

где m – количество переменных, по которым имеются ограничения;


б) qk	(xi ) 0;	k 1, r ,	(8.3)
где qk xi	– функция ограничений;

r - количество ограничивающих функций.

Задача означает: найти минимальное значение целевой функции F (xi ) и соответствующие значения переменных x*i (i 1, n) при на-

156

личии ограничений типа x j min x j x j max ;

j 1, m;

m n и (или)

ограничений типа

qk (xi ) 0;

k 1, r .

В учебной и научной литературе встречается другая форма запи-

си задач математического программирования:

x arg min F F (x );

i 1, n;

x j min x j x j max;

(8.4)

j 1, m;

m n;

(x ) 0;

1, r

Задача означает: найти значения вектора xi* ; i

, которые

1, n

доставляют минимум целевой функции

F xi

при наличии ограни-

чений типа x j min x j x j max ;

j 1, m;

m n

и (или) ограничений

типа qk (xi ) 0;

k 1, r .

Методы решения задач математического программирования подразделяются на аналитические и численные. К аналитическим методам относится, например, метод неопределенных множителей Лагранжа. Самыми простыми из численных методов являются метод перебора и метод случайного поиска.

8.2. Постановка и решение задачи оптимального распределения массы ракеты-носителя по блокам методом неопределенных множителей Лагранжа

Аналитические решения такого рода задач возможны только для некоторых частных случаев. Приведем решение этой задачи для двухступенчатой ракеты с последовательным соединением ступеней.

8.2.1. Постановка задачи

Оптимальным распределением масс топлива и масс конструкции блоков по ступеням будем считать такое распределение, при котором обеспечивается минимальная стартовая масса ракеты при заданной массе полезной нагрузки, или минимальное отношение стартовой массы ракеты к массе полезной нагрузки (что равносильно) и при

157

выполнении ограничений для располагаемой и потребной характеристических скоростей, то есть

p0 min
p0 min
		mпн	сonst;
		V расп V потр				,
		x		x
где
p	p p	z	(s1 1)		z			(s2		1)				z1	z2 (s1 1)(s2				1)			. (8.5)
p	p p	z			z					z				(s z )(s				z				. (8.5)
0	1 2	1 (s z )					2	(s	2	z	2	)		(s z )(s			2	z		2	)
			1	1					2		2				1	1	2			2
Поскольку характеристики										s1			и s2			считаются заданными, то

вместо этой функции можно исследовать на экстремум следующую функцию:

p*		z1 z2	.	(8.6)
	s1	z1 s2 z2

Рассмотрим функцию ограничений по скорости.

Располагаемая характеристическая скорость ракеты-носителя должна быть равна (или больше) потребной характеристической скорости, необходимой для вывода КА на орбиту с заданными парамет-

рами V расп V потр , или
X	X
V потр V расп 0 .				(8.7)
X	X
На основании формулы Циолковского можем записать
V расп w ln z w ln z		2	,	(8.8)
X	1 1 2	2

где wi - удельные импульсы соответствующих ступеней.

Следовательно, функция ограничений будет выглядеть следующим образом:

V потр w ln z		w ln z	2	0 .	(8.9)
X	1 1	2	2

Применительно к аналитическим методам решения такого рода задач функция ограничений имеет вид

V потр w ln z		w ln z	2	0 .	(8.10)
X	1 1	2	2

158

8.2.2. Решение задачи

Составляем функцию Лагранжа:

L	z1 z2	(V потр w ln z		w ln z		) ,	(8.11)
					2
	(s1 z1 )(s2 z2 )	x	1 1	2

где - неопределенный множитель Лагранжа.

Эту функцию дифференцируем по параметру z1 и приравниваем полученную функцию нулю:

L	z2 (s1 z1 )(s2 z2 ) z1 z2 ( 1)(s2	z2 )	w1	0 . (8.12)
z1	(s1 z1 )(s2 z2 ) 2		z1

Упростим полученное выражение с помощью алгебраических преобразований:

z z (s z )(s z ) z2 z (s z ) w (s z )2																	(s z		)2 0 ;
1	2	1	1		2		2		1	2	2	2		1	1	1	2	2
z z (s z ) z2 z w (s z )2 (s z ) 0 ;
1	2	1	1			1	2		1		1	1	2	2
z z s z2 z z2 z								2	w (s z )2				(s z		) 0 ;
1	2	1	1	2		1		2		1	1	1	2	2
z z	2	s w (s				z )2 (s				z ) 0 .									(8.13)
1	2	1		1	1			1	2		2

Дифференцируя функцию Лагранжа по параметру z2, получим второе уравнение:

z	z s		w (s		z	)2 (s z ) 0 .		(8.14)
2	1	2	2	2	2	1	1

Выражения (8.13) и (8.14) совместно с функцией ограничений (8.10) представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными z1 , z2 и безразмерным параметром .

Решим эту систему следующим образом.

Из уравнений (8.13) и (8.14) выразим параметр :

			s1 z1 z2							;
	w (s z )2			(s z				2	)
1		1	1			2
			s2 z1 z2								.
	w (s z )(s				2	z	2	)2
2		1	1

Приравняем правые части полученных уравнений:

		s1 z1 z2							s2 z1 z2					.
w (s z )2			(s z	2	)		w (s z )(s			2	z	2	)2
1	1	1	2			2		1	1

159

После сокращения получаем следующее выражение:

		s1						s2							,
	w (s z )						w (s		2	z		2	)		,
1		1	1					2	2			2
откуда находим параметр z1 :
(s z )					s1 w2 (s2 z2 )									;
(s z )														;
1			1					s2 w1
								s2 w1
				s w (s z						)							w (s z					)				w			z	2
	z1 s1			1 2				2	2		s1 1							2		2	2		s1		1	2	1			2		. (8.15)
	z1 s1										s1 1												s1		1		1					. (8.15)
						s2 w1													s2 w1							w1
						s2 w1													s2 w1							w1			s2
Подставляя								полученное									выражение							для		z1		в			функцию
ограничений (8.10), получаем
											w					z	2
VXпотр w1 ln s1 1											2		1				2				w2 ln z2			0 .							(8.16)
VXпотр w1 ln s1 1													1								w2 ln z2			0 .							(8.16)
											w1					s2

Данное уравнение является нелинейным уравнением с одним неизвестным z2. Корень этого уравнения можно найти численным методом, например, с помощью системы Mathcad.

Для некоторых частных случаев решить эту задачу можно точно и получить формулу для расчета оптимальных чисел Циолковского в явном виде. Рассмотрим один из таких частных случаев, когда удельные импульсы ракетных двигателей одинаковы, то есть когда

w1 w2 w .

(8.17)

В этом случае выражение (8.15) будет выглядеть следующим образом:

z			s1	z		.	(8.18)
z				z	2	.	(8.18)
1		s2			2
		s2
Аналогично можно получить
z			s2	z .			(8.19)
z	2			z .			(8.19)
	2		s1		1
			s1

По этим зависимостям можно определить оптимальное распределение чисел Циолковского первой и второй ступеней ракеты-носителя с учетом конструктивных характеристик ракетных блоков (при условии, что значения удельных импульсов топлива и двигателей первой и второй ступеней ракеты-носителя одинаковы).

160

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия