Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
Рассмотрим два предельных случая.
а) Абсолютно неупругий удар (k= 0). В этом случае из
(17.6) и (17.5) следует
u1x u2x (M1v1x M2v2x )/(M1 M2 ), (17.11)
то есть, оба тела после абсолютно неупругого удара движутся с одной и той же скоростью.
Действующий на тела ударный импульс равен p2x p1x M1 M2(v1x v2x )/(M1 M2 ).
б) Абсолютно упругий удар (k=1). В этом случае из уравнений (17.7) и (17.8) получается
u1x v1x 2M2(v1x v2x )/(M1 M2 ), (17.12) u2x v2x 2M1(v1x v2x )/(M1 M2 ).
Действующий на тела ударный импульс равен p2x p1x 2M1 M2(v1x v2x )/(M1 M2 ).
Как видно, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.
В частном случае, когда М1= М2 получаем из уравнений
(17.12) u1x v2x и u2x v1x . Таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.
Задача 17.1. Два шара масс М1 и М2, подвешены согласно рис. 17.5. Первый шар отклоняют на угол и отпускают без начальной скорости. После удара второй шар отклоняется
на угол . Найти коэффициент вос-
Рис. 17.5
становления для шаров при ударе. Решение. По данным задачи можно определить скорость
v1 , центра первого шара в начале удара и скорость u2 центра второго шара после удара. Из теоремы об изменении кинети-
270
ческой энергии на перемещении В0В1, для первого шара находим
0,5M1v12 M1gh M1gl(1 cos ),
где l - расстояние центра первого шара от точки подвеса. Отсюда
v1 
2gl(1 cos ) 2
gl sin0,5 .
Аналогично определяется
u2 
2gl(1 cos ) 2
gl sin0,5 .
Так как в данном случае v2 = 0, уравнения (17.7) и (17.8) дают
M1u1x M2u2x M1v1x , u2x u1x kv1x .
Исключая из этих уравнений u1x , с учетом очевидных равенств v1x v1 и u2x u2, получаем
M1v1(1 k ) (M1 M2 )u2.
Отсюда следует
k |
(M1 M2 )u2 |
1 |
(M1 M2 )sin0,5 |
1. |
M1v1 |
|
|||
|
|
M1 sin0,5 |
||
17.6. Потери кинетической энергии при неупругом ударе двух тел. Теорема Карно
Из изложенного в 17.3, следует, что при неупругом ударе происходит уменьшение кинетической энергии соударяющихся тел. Наибольшее количество энергии теряется при абсолютно неупругом ударе.
Пусть соударяющиеся тела движутся поступательно, а их общая скорость после абсолютно неупругого удара равна u. Кинетические энергии системы в начале и в конце удара равны
T |
0,5(M |
v2 |
M |
2 |
v |
2 |
), T 0,5(M |
1 |
M |
2 |
)u |
2 . |
(17.13) |
0 |
|
1 1x |
|
|
2x |
1 |
|
|
x |
|
Потерянная при ударе кинетическая энергия равна разно-
сти
T0 — Т1 = Т0 — 2Т1+ Т1. |
(17.14) |
Из формулы (17.11) следует, что
271
(M1 M2 )ux M1v1x M2v2x .
Тогда
|
2T |
(M |
1 |
M |
2 |
|
)u2 |
(M |
1 |
v |
|
M |
2 |
v |
2x |
)u |
x |
. |
|
(17.15) |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставляя в правую часть (17.14) Т0 |
и Т1, из (17.13), а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вместо 2Т1 - правую часть (17.15), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
T |
|
T |
0,5(M |
|
v2 |
M |
2 |
v |
2 |
|
2M |
v |
|
u |
x |
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
1 1x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2M |
2 |
v |
2x |
u |
x |
M u |
2 |
M |
2 |
u2 |
), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
0,5M |
1 |
(v |
|
|
u |
x |
)2 0,5M |
2 |
(v |
2x |
u |
x |
)2 . |
(17.16) |
||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разности v1x ux v1 u и v2x ux v2 u определяют уменьшение скорости каждого из соударяющихся тел за счет удара и называются потерянными при ударе скоростями. Тогда из формулы (17.16) вытекает следующая терема Л. Карно: кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями.
Если удар не является абсолютно неупругим, то k 0 и u1x u2x . Аналогичными преобразованиями можно устано-
вить, что кинетическая энергия, потерянная при не абсолютно неупругом ударе двух тел, равна
T0 T1 |
|
1 |
k |
0,5 M1(v1x |
u1x )2 |
M2(v2x |
u2x )2 . (17.17) |
1 |
k |
Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара по первоначально неподвижному телу. В этом случае v2 = 0 и
T0 0,5M1v12 , u M1v1 /(M1 M2 ).
Тогда T1 0,5(M1 M2 )u2 0,5M12v12 /(M1
|
M |
1 |
|
M v2 |
||
M2 ) |
|
|
1 |
1 |
, |
|
M1 M2 |
2 |
|
||||
|
|
|
||||
или
272
T1 M1T0 /(M1 M2 ). |
(17.18) |
Формула (17.14) показывает, какая часть начальной энергии системы остается у системы после удара.
Рассмотрим два предельных случая.
а) Масса ударяющего тела много больше массы ударяемого M1 M2. В этом случае можно считать M1 M2 M1 и
из (20.18) следует T1 T0 . Следовательно, не смотря на абсо-
лютно неупругий удар, кинетическая энергия при ударе почти не теряется и система после удара имеет почти ту же кинетическую энергию, которую она имела до удара.
На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоздей, свай и т. п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка была намного больше массы гвоздя
(рис. 17.6, а).
б) Масса ударяемого тела много больше массы ударяющего
Рис. 17.6 |
(M1 M2 ). В этом случае мож- |
|
но считать |
M1 /(M1 M2 ) 0 ,
и формула (17.18) дает Т1= 0. В данном случае при ударе почти вся кинетическая энергия расходуется на деформации соударяющихся тел и по окончании удара тела можно считать неподвижными.
Такой результат надо, очевидно, получать при ковке, клепке и т. п. Для достижения наибольшего эффекта, в этих случаях нужно, чтобы масса поковки вместе с наковальней (или масса заклепки вместе с поддержкой) была много больше массы молота (рис. 17.6, б).
17.7. Удар по вращающемуся телу Рассмотрим тело, имеющее неподвижную ось вращения z
273
(рис. 17.7). Пусть в некоторый момент времени к телу при-
|
ложен ударный импульс S. Тогда из |
|
уравнения (17.5) следует |
|
K1z Koz mz( p), |
|
так как моменты относительно оси z |
|
импульсных реакций RA и RB , воз- |
|
никающих в подшипниках, будут |
|
равны нулю. Если в начале удара |
Рис. 17.7 |
тело имело угловую скорость 0 , а |
в конце удара его угловая скорость |
стала равна 1 , то K0z Jz 0 , K1z Jz 1, |
|
Jz( 1 o ) mz( p) |
(17.19) |
или |
|
1 o mz( p )/ Jz . |
(17.20) |
Эта формула определяет изменение угловой скорости тела при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного импульса к моменту инерции тела относительно оси вращения.
17.7.1. Импульсные реакции
Пусть оси системы координат Axyz таковы, что скорость центра масс С параллельна оси Ах (рис. 17.8, а). Тогда центр масс С тела расположится в плоскости Ayz. Разложим искомые импульсные реакции RA и RB на составляющие вдоль этих осей.
274