Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

второй стадии удара шар и плита под действием внутренних сил упругости, возникающих в них, восстанавливает свою форму. При этом внутренняя потенциальная энергия деформирования шара переходит в кинетическую энергию движения его частиц, если не учитывать перемещение плиты. В конце удара скорости частиц будут равны u, а кинетическая энергия шара -

0,5Mu2 . Однако, часть механической энергии шара тратится на нагревание шара и плиты и сообщение им остаточных деформаций. Поэтому скорость u будет меньше v .

Величина k, равная отношению модуля скорости тела в конце прямого удара тела о неподвижную преграду к модулю скорости

тела в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе

Величины коэффициента восстановления для разных тел определяется опытным путем. По данным экспериментов при изменении скорости v не в очень больших пределах, величина k зависит только от материалов соударяющихся тел.

В качестве предельных случаев рассматривают абсолютно упругий удар (k =1), при котором механическая энергия тела после удара полностью сохраняется, и абсолютно неупругий удар (k = 0), когда удар заканчивается на первой стадии и вся механическая энергия тела затрачива-

ется на его деформирование и нагревание.

Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с известной высоты Н, и определить с помощью линейки (рис. 17.2) высоту его подъема h после удара. При этом не учитывается сопротивления воздуха, уменьшающее расчетную величину k. Для этого по известным формулам определяются скорости шара перед

265

ент восстановления

ku / v h/ H 1.

Втаблице 1 приведены значения коэффициента восстановления для некоторых материалов, при скоростях соударения около 3 м/c.

Как видно из таблицы, чем выше твердость соударяющихся тел, тем выше и ближе к 1 коэффициент восстановления при ударе.

17.4. Удар тела о неподвижную преграду Пусть тело (шар) массы М, ударяется о неподвижную плиту.

Действующей на тело ударной силой будет реакция плиты. Пусть импульс этой силы за время удара равен S, а нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела. Для шара это условие будет выполняться всегда. Такой удар тела называется центральным. Если скорость v центра масс тела в начале удара направлена вдоль нормали n к плите, то удар будет прямым. В противном случае удар называется косым.

17.4.1. Прямой удар Составляя в этом случае уравнение (17.3) в проекциях на

нормаль n (см. рис. 17.1) с учетом того, что p0 Mv , а p1 Mu , получим

p1n p0n Mun Mvn M(un vn ) pn .

266

При прямом ударе un u , vn v , pn p. Следователь-

но, M(u v) p.

Второе уравнение, необходимое для решения задачи u kv , дает равенство (17.6).

Из полученных уравнений, зная М, v, k, найдем неизвестные величины u и p. При этом p M(k 1)v.

Как видно, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость p от k и было указано в 17.3.

Для определения средней величины ударной силы (реакции) необходимо дополнительно знать время удара , которое надежно можно найти только экспериментально.

~

ной реакции N p / 1,2 / 0,0005 2400 Н.

17.4.2. Косой удар Косой удар происходит если нор-

маль к поверхности ударяющегося тела

вточке начального касания не проходит через центр масс этого тела. Пусть в этом случае скорость v центра масс тела

вначале удара образует с нормалью к плите угол , а скорость u после удара - угол (рис. 17.3). Тогда уравнения

267

Так как в данном случае влияние трения не учитывается, ударные силы направлены вдоль нормали к поверхности и, коэффициент восстановления равен отношению модулей проекций скоростей после и до удара vn и un . Тогда с учетом зна-

ков проекций получим un kvn . В итоге получается

u v , un kvn , p M vn(1 k ).

Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в конце удара и ударный импульс, если известны величины М, v, k и . Поскольку v vn tg , а

u un tg , из первого равенства получаем

un tg vn tg ,

откуда

k un tg . vn tg

Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как k 1, то , т. е. угол падения всегда меньше угла отражения .

17.5. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров) При соударении двух тел

удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных

шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой.

268

Пусть массы соударяющихся тел равны M1, и M2 , а ско-

рости их центров масс в начале удара v1 и v2 , а в конце удара u1 и u2 , Пусть координатная ось С1х проходит через центры масс С1, С2 и направлена всегда от С1 к С2 (рис. 17.4). Удар может произойти только при v1x v2x , иначе первое тело не догонит второе. Кроме того, должно выполняться неравенство u1x u2x , так как ударившее тело не может опередить ударяе-

мое.

Считая шары системой, а M1 , M2 , v1x , v2x и k известными, для определения u1x и u2x используем теорему об из-

менении импульса для соударяющихся тел. Тогда ударные силы, действующие между телами, станут внутренними, и

pke 0 .

Второе уравнение получим из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющего тела превышает скорость ударяемого, т. е. от разно-

Система уравнений (17.7) и (17.8) позволяет решить задачу об ударе двух тел. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, из уравнения (17.3), составленного для какого - либо из тел, например для первого. Тогда

p1x M1(u1x v1x ), p2x p1x. (17.10)

269