Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
Пример. Пусть маятник (рис. 16.14) отклонен от вертикали
на угол 0 и отпущен без начальной скорости. Тогда в на-
чальном положении 0 Gz0 и T0 0, где G - сила тяжести
маятника, z - координата его центра тяжести. При отсутствии всех сил сопротивления в любом другом положении будет
T 0 , или Gz 0,5JA 2 Gz0 .
Таким образом, выше положения z0 , центр тяжести маят-
ника подняться не может. При опускании маятника его потенциальная энергия убывает, а кинетическая растет, при подъеме все происходит наоборот.
Из полученного выражения следует, что
2 2G(z0 z)/ JA.
Таким образом, угловая скорость маятника в любой момент времени зависит только от положения его центра тяжести. Такие зависимости характерны только
Рис. 16.14 при движении под действием потенциальных сил.
За счет действия не потенциальных сил трения в оси и сопротивления воздуха полученные выше зависимости не будут выполняться и полная механическая энергия маятника будет постепенно убывать, а его колебания
затухать.
16.8. Задачи для самостоятельного решения
16.8.1. Определить кинетическую энергию механизма эллипсографа, состоящего из кривошипа ОС
массы M , вращающегося вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью и приводящего в движение линейку АВ с ползунами А и В, при условии, что OC AC CB l , масса
255
линейки 2M , а массы ползунов А и В равны m1 m2 m
(рис. 16.15).
|
16.8.2. Планетарный механизм |
|
|
приводится в движение кривоши- |
|
|
пом ОА, соединяющим оси трех |
|
|
зубчатых колес 1,2 и 3. Колесо 1, |
|
|
радиус которого равен r1 , непод- |
|
Рис. 16.16 |
вижно; кривошип вращается вокруг |
|
неподвижной оси О с угловой ско- |
||
|
||
|
ростью . Массы каждого из колес |
|
|
2 и 3 равны M радиус каждого из |
|
|
них r , масса кривошипа равна m. |
|
|
Вычислить кинетическую энергию |
|
|
механизма, считая колеса однород- |
|
|
ными дисками, а кривошип - одно- |
|
Рис. 16.17 |
родным тонким стержнем, если |
|
r1 2r (рис. 16.16). |
||
|
16.8.3. Груз А массой m подвешен к однородному нерастяжимому канату длиной L и погонной массой q. Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Второй конец
|
каната прикреплен к оси катка С, катящегося |
||||
|
без скольжения по неподвижной горизон- |
||||
|
тальной плоскости. Блок В и каток С - одно- |
||||
|
родные |
круглые цилиндры радиусом |
r |
и |
|
|
массами |
M каждый. Коэффициент трения |
|||
|
качения катка С о горизонтальную плоскость |
||||
|
равен f . В начальный момент, когда система |
||||
Рис. 16.18 |
находилась в покое, с блока В свешивалась |
||||
часть каната длиной l. Определить скорость |
|||||
|
|||||
груза А в зависимости от его вертикального перемещения |
h |
||||
(рис. 16.17). |
|
|
|
|
|
16.8.4. Прямоугольная пластинка ABCD со сторонами a, |
|||||
b и массой m вращается вокруг вертикальной оси z |
с на- |
||||
256
чальной угловой скоростью 0 . Каждый элемент пластинки
испытывает при этом сопротивление воздуха, направление которого перпендикулярно к плоскости пластинки, а величина прямо пропорциональна площади элемента и квадрату его скорости v; коэффициент пропорциональности равен . На какой угол повернется пластинка до того момента, когда ее угловая скорость станет вдвое меньше начальной (рис. 16.18)?
16.8.5. Прямоугольная пластинка со сторонами a и b может вращаться без трения вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через ее середину и параллельной стороне b . На конце оси надет шкив С радиусом r , на который намотана гибкая нерастяжимая нить; другой конец нити перекинут через блок D, и к нему привязан груз массой m, приводящий во вращение пластинку. Пренебрегая массами шкива и блока, найти ускорение груза, если масса пластинки равна M и никаких сопротивлений движению нет (рис. 16.19).
16.8.6. На ступенчатый шкив массой M , вращающийся вокруг неподвижной оси О, навернуты канаты, к концам которых подвешены грузы А и В массами m1 и m2 . Предполагая, что на эту систему действуют только силы тяжести, и пренебрегая сопротивлениями, найти ускорения грузов и реакцию в точке О. Радиусы R и r и радиус инерции шкива отно-
сительно оси О известны (рис. 16.20). 16.8.7. Доска массой M , лежит на
двух цилиндрических катках радиусом r и массой m каждый. Вся система движется под действием заданной горизонтальной силы F , приложенной к доске; при этом пред-
полагается, что катки катятся без скольжения и что скорость доски равна скорости катка в точке А. Найти ускорение доски
257
иобщую силу трения в точках А и В (рис. 16.21).
16.8.8.Чтобы затащить от подножия на горку санки массой m= 5 кг, прикладывая силу
|
вдоль поверхности горки, необ- |
|
Рис. 16.21 |
ходимо совершить работу не ни |
|
же A= 480 Дж. С какой скоро- |
||
|
стью достигнет подножия горки груз на санках, если он съедет с горки без начальной скорости по кратчайшему пути? Угол наклона поверхности горки к горизонту arctg0,2. Коэффициент трения скольжения санок о горку 0,1.
16.8.9. Тело массой m = 200 г вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиуса r = 0,5 м с частотой1 3об
с. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения до 2 5об
с.
16.8.10.Тело массы m двигалось по горизонтальной прямой со скоростью v . После действия некоторой силы оно стало двигаться со скоростью -2v . Найти модуль, направление и работу этой силы, если время ее действия равно t.
16.8.11.Тело массой m движется по горизонтальной прямой со скоростью v . После действия некоторой силы оно стало двигаться под прямым углом к начальной траектории с той же по модулю скоростью. Найти модуль этой силы и совер-
|
шенную силой работу, если время |
||
|
действия силы равно t. |
||
|
16.8.12. |
Небольшая шайба А |
|
|
скользит без начальной скорости с |
||
|
вершины гладкой горки высотой Н, |
||
|
имеющий горизонтальный трамплин |
||
Рис. 16.22 |
(рис. 16.22). При какой высоте трам- |
||
плина h0 |
шайба пролетит наиболь- |
||
|
|||
шее расстояние x? Чему оно равно? |
|
||
16.8.13. Шар радиусом R= 0.9 м покоится на поверхности земли. С верхней точки шара скользит из состояния покоя те-
258
ло, размеры которого много меньше размеров шара. На какой высоте над поверхностью земли тело отделиться от шара (рис. 16.23)?
16.8.14. Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости переходящей в «мертвую петлю», с высоты H0 2R, где R - радиус петли. На ка-
кой высоте h тело оторвется от поверхности петли? С какой высоты H должно скатываться тело, для того, чтобы отрыва не произошло (рис. 16.24)?
16.8.15. Шарику, подвешенному на нити длиной l= 1 м, сообщили скорость v0 = 6 м/с. На какой высоте нить ослабнет,
и шарик перестанет двигаться по окружности? Какую скорость будет иметь шарик в этот момент?
16.16. Самолёт массой m = 5 т двигался горизонтально со скоростью v1= 360 км/час. Затем он увеличил высоту наh = 2 км, а его скорость стала v2 = 200 км/час. Найти работу, затраченную мотором на подъём самолёта.
259