Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

правой и левой частях этого равенства. Приравнивая коэффициенты при dx, dy, dz в обеих частях равенства, находим

Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы на оси координат равны частным производным от силовой функции по этим координатам. Вектор, проекции которого определяются равенствами вида (16.25), называют

градиентом скалярной функции U(x, у, z). Тогда F = gradU. Из равенств (16.25) следует

Следовательно, если для данного поля существует силовая функция, то проекции силы на оси координат удовлетворяют соотношениям

Можно показать, что верно и обратное утверждение: если выполнены равенства (16.26), то для поля существует силовая функция U. Следовательно, условия (16.26) являются необходимыми и достаточными условиями потенциальности силового поля. Таким образом, если силовое поле задано уравнениями (16.18), то по (16.26) можно проверить потенциально ли оно. Если поле потенциально, то выражение (16.21) определяет его силовую функцию, а формула (16.14) - работу сил поля. Наоборот, если силовая функция известна, то по формулам (16.25) можно определить характеристики этого поля.

250

Выражение U(x,y,z) C, где С - некоторая постоянная, определяет в пространстве уравнение поверхности, во всех точках которой функция U = С. Такие поверхности называют поверхностями уровня или поверхностями равного потенциала. Поскольку силовая функция является однозначной функцией координат, поверхности уровня для различных величин энергии не могут пересекаться и касаться друг друга. Поэтому через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. При любом перемещении M1M2 вдоль поверхно-

сти уровня U1 U2 C, и работа сил поля, согласно (16.20), равна нулю. Поскольку сила при этом не равна нулю, то в любой точке потенциального силового поля сила направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Если силы, образующие силовое поле параллельны некоторой плоскости, то силовое поле называется плоским. Для такого силового поля удобно вместо поверхностей уровня рассматривать линии уровня. Изложенное верно и для линий уровня.

На рис. 16.13 показаны две поверхности уровня U(x,y,z C1 и U(x,y,z C2 , пересекающиеся с плоскостью, проходящей через нормальn . Если сила направлена в сторону, показанную на рисунке, то ее работа на пeремещении ВВ' положительна. Согласно (16.20), эта работа равна C2 C1. Следовательно, сила в потенциальном поле направлена в сторону возрастания силовой функции. По определению, работа силы

F1, на перемещении ВВ' и работа силы F2 , на перемещении

DD' одинаковы, так как равны C2 C1. Если DD' ВВ', то

F1 F2 . Следовательно, величина силы в потенциальном поле

251

больше там, где поверхности уровня проходят ближе друг к другу (гуще). Отмеченные свойства поверхностей или линий уровня позволяют наглядно представить картину распределения сил в потенциальном силовом поле с помощью поверхностей или линий уровня. Кроме того, как видно из (16.20), работа потенциальной силы зависит только от того, с какой поверхности (или линии) уровня и на какую перемещается точка.

Изложенное поясняется примерами. 1) Для однородного поля сил тяжести, как видно из формулы (16.22), U const , если z= const. Следовательно, поверхностями уровня являются

концентрические сферы, центр которых совпадает с центром притягивающего тела. Сила в каждой точке поля направлена по нормали к соответствующей сфере в сторону возрастания U (убывания r), т. е. к центру сферы.

Если в потенциальном силовом поле движется система ма-

Uk( xk , yk , zk ), позволяющую определить элементарную рабо-

ту силы, действующей на эту точку. Тогда функция координат всех точек системы

U( x1, y1,z1, ,xn , yn ,zn ) Uk( xk , yk ,zk )

будет силовой функцией для рассматриваемой механической системы.

При этом dU dUk и, согласно равенству 16.19), при-

т. е. дифференциал силовой функции системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему сил.

252

16.6. Потенциальная энергия Потенциальное поле сил можно охарактеризовать потен-

циальной энергией, как величиной, характеризующей запас энергии, которую имеет система при расположении ее материальных точек в данных точках силового поля - в данной конфигурации. Чтобы сравнивать между собою эти запасы энергии нужно выбрать нулевую конфигурацию О, в которой запас энергии удобно считать равным нулю. Нулевую конфигурацию, как и всякое начало отсчета, можно выбирать произвольно. Потенциальной энергией системы при расположении материальных точек системы в данной конфигурации М называется скалярная величина П равная работе, которую совершат силы. поля при перемещении материальных точек системы из их положений в конфигурации М в их положения в нулевой конфигурации

A( MO ) .

Из определения следует, что потенциальная энергия П зависит от координат х, у, z точки М, т. е., что П = П (х, у, z).

Будем в дальнейшем считать нулевые конфигурации для функций П(х, у, z) и U(x, у, z) совпадающими. Тогда U0 0 и

по формуле (16.20) A( MO ) U0 U U , где U - значение силовой функции в конфигурации М поля. Отсюда

(x, y, z) U(x, y, z),

т. е. потенциальная энергия в любой конфигурации системы равна величине силовой функции в этой конфигурацию, взятой с обратным знаком.

Отсюда видно, что при рассмотрении всех свойств потенциального силового поля вместо силовой функции можно пользоваться потенциальной энергией. В частности, при определении работы потенциальной силы вместо равенства (16.20)

253

Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии системы в начальном и конечном ее положениях (конфигурациях).

Выражения потенциальной энергии для рассмотренных потенциальных сил можно получить из равенств (16.22) - (16.24), учитывая, что U . Так, для силы тяжести

Gz .

16.7. Закон сохранения механической энергии Пусть все действующие на систему внешние и внутренние

силы потенциальны. Тогда для каждой из точек системы работа этих сил равна Ak k0 k1.

Следовательно, для всех внешних и внутренних сил

Ak k0 k1 0 1,

где k - потенциальная энергия всей системы.

Подставляя это выражение работы в (16.13), получим

T1 T0 0 1 или T1 1 T0 0 const .

Следовательно, при движении точек системы под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы в каждой ее конфигурации остается постоянной. В этом и состоит закон сохранения механической энергии, являющийся частным случаем общего физического закона сохранения энергии. Величина Т+П называется полной механической энергией системы.

Если среди действующих сил имеются непотенциальные силы, например силы трения, то полная механическая энергия системы во время движения будет убывать, преобразуясь в другие виды энергии, например в тепловую. Значение закона сохранения механической энергии особенно велико при использовании его совместно с общим физическим законом сохранения энергии. При решении же чисто механических задач можно во всех случаях непосредственно пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии системы.

254