Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

ние с помощью одной только теоремы об изменении кинетической энергии не возможно.

Уравнение (16.13) позволяет решать задачи, в которых в число данных и искомых величин входят: 1) действующие силы; 2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или угловые) до и после перемещения. При этом действующие силы должны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстояний).

Важно знать, что с помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно в случаях, когда положение системы определяется одним параметром, составлять дифференциальные уравнения движения системы и, в частности, находить ускорения движущихся тел. Для этого надо составить уравнение (19.13), продифференцировать обе его части по времени и исключить скорость (см. задачи 16.6, 16.7). При произвольных действующих силах удобнее составлять уравнение движения в виде (16.12), т. е.

в дифференциальной форме (см. задачу

16.8).

Рис. 16.8

Задача 16.4. Стержень АСВ длины 1 подвешен на шарнире в точке А (рис. 16.8). Пренебрегая трением в шарнире А, найти, какую наименьшую угловую скорость , надо сообщить стержню в нижнем положении, чтобы он отклонился до горизонтального положения, имея в этом положении угловую скорость 0.

Решение. В число данных и искомых в задаче величин входят 0 , 1= 0 и перемещение системы, определяемое уг-

лом . Следовательно, для решения задачи удобно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Поскольку тела системы считаются недеформируемыми, (16.14) примет вид

240

Пусть M - масса стержня. По формулам (16.3) и (12.1) на-

ходим T0 0,5JA 02 Ml2 02 / 6 .

В конечном положении 0 и T1 = 0.

Наложенная на движение стержня связь – шарнир А является идеальной. Поэтому на перемещениях точек стержня совершают работу только активная сила тяжести G Mg и ее

Задача 16.5. Шкивы А и В, соединенные ремнем (рис. 16.9), вращаются после выключения двигателя так, что шкив А имеет угловую скорость 0 . Общая

масса шкивов равна M , а

Рис. 16.9

вес ремня m. Чтобы затор-

мозить вращение, к шкиву А радиуса R прижимают, с силой Q тормозную колодку. Коэффициент трения колодки о шкив равен f. Пренебрегая трением в осях и считая шкивы сплошными дисками, найти количество оборотов n шкива А до остановки.

Решение. Для определения числа n оборотов воспользуемся уравнением (16.14)

при отсутствии скольжения ремня по шкивам начальные скорости всех точек ремня одинаковы и равны vP0 0R 0BRB ,

по (16.3) и (16.10) получим

TB 0,5(0,5JB ) 02B 0,25mBRB2 02B 0,25mBR2 02 ,

TA 0,5(0,5JA ) 02 0,25mAR2 02 ,

241

TP 0,5mvP20 0,25mR2 02 .

Поскольку M mA mB ,

T0 0,25(M 2m)R2 02 .

Поскольку в конечном положении скорость стержня равна

нулю, T1 0.

В данной системе работа сил тяжести равна нулю, так как центры тяжести колес и ремня при движении системы не перемещаются. Согласно (16.9), работа силы трения FT fQ

242

Работу совершают сила Q и сила тяжести, равная

G (mv 4m )g. Работа силы трения, препятствующей

скольжению, и нормальных реакций плоскости равна нулю.

Тогда A(Q) Ql, A(G ) (mv 4m )gl sin .

Подставляя полученные выражения в (а), получаем

2) Для определения ускорения w будем считать в равенстве (б) величины v1 и l переменными. Величина l определяет положение всей системы и может считаться параметром.

Продифференцировав по времени (б), получим

w Q (mv 4m )g sin 0,98 м/с2.

mv 6m

Задача 16.7. На цилиндрический каток радиуса R и массы m намотана нить, перекинутая через блок О (рис. 16.11) и не-

сущая на конце груз D массой mv . Определить скорость vC и

ускорение wC центра С катка в конце пути , если vC0 0 .

Коэффициент трения качения катка равен k , его радиус инерции относительно его оси равен . Массой нити и блока О пренебречь.

Решение. 1) Для определения скорости vC воспользуемся соотношением

243

В данном случае T0 0, T T Tv . По формулам (16.2), (16.5) и (12.5) получаем

Tv 0,5mvv2 , T 0,5m vC2 0,5(m 2 ) 2 .

Поскольку точка В является мгновенным центром скоростей, v vA 2vC . Тогда,

T0,5(4mv m (1 2 / R2 ))vC2 .

Работу совершают сила Q и

пара сил (N и m g ). Поскольку

h 2 , где - перемещение центра С катка, и A(Q ) mvg2 .

Работа сил сопротивления качению определяется по (16.11). Поскольку N m g const, A MC kN km g / R. То-

гда Ake 2Q km g / R.

Подставляя выражения T и Aв (а), получим

2) Для определения wC , как и в предыдущей задаче, диф-

ференцируем обе части равенства (б) по t, как по параметру, определяющему положение тел системы. Поскольку vC d / dt , получим

Задача 16.8. Шестерня 1 радиуса r и массы m1 , насаженная на ось, находящуюся на кривошипе ОС 3 длины l и массы m3 , и связанная с ним спиральной пружиной, может пере-

244