Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

из точек этого тела. Обычно за эту точку принимают центр масс тела, считая, что в ней сосредоточена масса всего тела.

Абстракция «абсолютно твердое тело» используется в тех явлениях, для которых масса, форма и размеры тела существенны, но изменения формы - деформации настолько малы, что ими можно пренебречь. На такой абстракции основана, например, вся аэрогидромеханика, так как аэро- и гидродинамические силы сильно зависят от размеров и формы движущихся телсамолетов, кораблей и подводных лодок. Следовательно, самолеты и корабли должны быть настолько жесткими, чтобы неизбежно возникающие при их движении деформации были малыми и не влияли существенно на аэродинамические силы, например на лобовое сопротивление или подъемную силу самолета. Важно понимать, что не зная размеров тела, приобретенных вследствие его деформаций, нельзя составить даже уравнения равновесия тела, нельзя определить действующие внутри тела силы и моменты, по которым можно было бы найти деформации этого тела. Замкнутый круг проблем исследования равновесия или движения деформируемого тела разрывается так, что при определении реакций опор на жесткие тела в технике малыми деформациями этих тел пренебрегают. Если же нужно учесть влияние деформаций тела на действующие на него реакции других тел, то используют метод последовательных приближений, многократно повторяя процесс определения реакций и деформаций тела.

1.2.Способы задания движения точки

Вкинематике независимой переменной (аргументом) является время t. Все другие величины – перемещения, координаты, скорости и ускорения являются функциями времени.

Механическим движением называют изменение во времени положения в пространстве точек и тел относительно какого

-либо основного тела, с которым связана система отсчета. Кинематика изучает механическое движение точек и тел независимо от причин, вызывающих эти движения. Всякое движение,

5

как и покой, относительно и зависит от выбора системы отсчета.

Траекторией точки называют линию, описываемую движущейся точкой. Если траектория - прямая линия, то движение точки называют прямолинейным, а если - кривая, то криволинейным. Если траектория - плоская, то движение точки называют плоским. Движение точки или тела, считается заданным или

известным, если для каждого момента времени можно указать положение точки или тела относительно выбранной системы отсчета.

При изучении кинематики движение точки можно задавать следующими тремя способами.

1.2.1. Векторный способ

Положение точки M определяется заданием векторарадиуса r этой точки как функции скалярного аргумента t

Модуль и направление вектора - радиуса r , имеющего начало в неподвижной точке О (полюсе) и конец в точке M, в общем случае меняется (рис. 1.1). Конец вектора - радиуса описывает траекторию точки M.

1.2.2. Координатный способ Если поместить начало декартовых координат в начале

вектора-радиуса r , то координаты точки M - конца r будут равны проекциям r на оси координат: rx = x; ry = y; rz = z.

Пусть i , j,k - единичные векторы (орты) осей координат. То-

6

Эти выражения задают закон движения точки и являются уравнениями траектории в параметрическом виде. Для получения уравнения траектории в непараметрическом виде, надо из (1.3) исключить параметр - время t.

Если рассматривается плоская траектория, т. е. считается, что движение точки происходит в плоскости ху, то z= 0 и вме-

1.2.3. Естественный способ Положение точки в пространстве определяется заданием:

а) траектории точки; б) криволинейной координаты = O1M точки М, отсчитываемой вдоль траектории и начала O1 ее отсчета (см. рис. 1.1); в) направления положительного отсчета координаты ; г) уравнения или закона движения точки по траектории

1.3.Скорость точки

Взависимости от способа задания движения скорость точки выражается в трех различных видах.

1.3.1.Векторный способ

Мгновенной скоростью точки называют вектор v , равный первой производной от вектора - радиуса точки по времени

7

На рис. 1.2 моменту времени t соответствует вектор-радиус

r , моменту t1 = t + t - вектор - радиус r1 r r , где приращение вектора - радиуса (переме-

щение) r MM1.

При t 0 вектор r будет

t

поворачиваться вокруг точки M,

Рис. 1.2 и в пределе секущая MM1 к траектории превращается в каса-

тельную. При этом расстояние между точками M и M1 стре-

мится к нулю. Следовательно, вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

1.3.2. Координатный способ

Представляя r в виде (1.2), подставляя r в (1.5) и, учитывая, что единичные векторы являются постоянными величинами и, выносятся их за знаки производных, получаем

Как и любой вектор, вектор скорости точки может быть представлен в виде суммы

ось координат равна первой производной по времени от соответствующей координаты точки.

Модуль и направление вектора скорости определяются формулами

8

vv

1.3.3.Естественный способ

По определению скорость точки направлена по касательной к траектории, а ее проекция на вспомогательную ось задается формулой

мер м/с. Если точка движется в сторону увеличения криволи-