Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1.4. Ускорение точки Ускорение точки, так же как ее скорость, в зависимости от

способа задания движения определяется следующими способами.

1.4.1. Векторный способ.

Ускорением точки называют вектор a, равный первой производной от вектора скорости точки по времени

a	lim	v	dv	.	(1.13)

	t 0 t		dt

Размерность ускорения в СИ [а] = м/с2, а единицей измерения является 1 м/с2.

1.4.2. Координатный способ Согласно (1.13 и (1.7)

	dv	dv	x		dvy		dv	z
a				i		j			k .
	dt	dt			dt
							dt

Поскольку a axi ay j azk , получается

ax	dvx	; ay	dvy	; az	dvz	.
	dt		dt		dt

Учитывая (1.22), получаем

	d	2x		d	2 y		d	2z	.
ax			; ay			; az
							dt2
	dt2			dt2

(1.14)

(1.15)

Итак, проекции вектора ускорения точки на неподвижные оси координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат точки. Модуль и направление вектора ускорения точки

\|a\|		,
	ax2 a2y az2		(1.16)

cos(a,x) ax , cos(a,y) ay , cos(a,z ) az . (1.17)

1.4.3. Естественный способ Формула (1.13) показывает, что ускорение точки характе-

ризует изменение ее скорости. Модуль и направление вектора скорости v могут меняться. Рассмотрим плоскую траекторию, имея в виду, что формулы, которые будут получены, верны и для пространственных траекторий.


Согласно (1.10) надо построить вектор v			приращения
		вектора скорости.		На
		рис. 1.3	изображены
		векторы	скорости
		v MA и v1 M1A1 ,
		соответственно		для
		моментов времени t и
		t1. Для сравнения этих
	Рис. 1.3	векторов	построим
		вектор v1, отложив его
от точки M, т. е. перенесем вектор v1		M1A1 параллельно в
положение v	MB. Угол между векторами v		и v1, назы-

ваемый углом смежности, равен углу поворота касательной к траектории при переходе по траектории от точки M к точке M1.

По правилу векторного сложения MB MA AB , или v1=v + v . Вектор приращения скорости v AB .

Пусть v1>v (для случая v1<v построение аналогичное). От-

ложим вдоль вектора v1 MB отрезок MC = MA = v и предста-

вим вектор приращения скорости v виде суммы двух векто-

ров AB v AC CB . Треугольник AMC - равнобедренный. Из (1.13) имеем

a	lim	v	lim	AC CB	lim	AC	lim	CB	. (1.18)

	t 0 t		t 0	t	t 0 t		t 0 t

Вектор ускорения точки состоит из двух векторов: нормального (первое слагаемое) и касательного (тангенциального) (второе слагаемое). Нормальное ускорение характеризует из-

менение направления скорости, а касательное - изменение величины скорости.

Касательным (тангенциальным) ускорением называют век-

тор

a	lim	CB	.	(1.19)

	t 0	t

Так как при t 0 0, то в пределе вектор CB, опре-

деляющий направление вектора a , направлен по касательной к траектории в точке M. Модуль этого вектора

a	\|a	\|	dv	.	(1.20)
			dt

Проекцией касательного ускорения на направление роста координаты называют производную от проекции скорости на то же направление по времени

a		dv
		dt .	(1.21)

По знаку a нельзя судить, будет ли движение замедлен-

ным или ускоренным. Исходя из (1.10) и (1.21) легко устано-

вить, что при ускоренном движении точки знаки v и a оди-

наковые, а при замедленном движении - разные (v > 0, a < 0

или v < 0, a		> 0).

Нормальным ускорением точки называют вектор
		n		AC
		a	lim		.	(1.22)
		a	lim		.	(1.22)
			t 0	t
Направление вектора			AC / t совпадает			с направлением
вектора	AC ,	который составляет с касательной к траектории
угол 90 / 2. При t 0 90°.
			12

Следовательно, вектор нормального ускорения an направлен по нормали (перпендикуляру) к касательной к кривой к центру кривизны траектории в точке касания.

Модуль нормального ускорения

an lim	AC	v	v	v2	.	(1.23)

	t
t 0

Поскольку в любой точке прямой траектории радиус кривизны равен бесконечен = , кривизна кривой k 1/ 0, и

an 0 .

Для окружности радиус кривизны равен радиусу окружности, поэтому в любой точке окружности k = 1/R.

Итак, вектор полного ускорения точки равен сумме векторов касательного и нормального ускорений этой точки

		n	.		(1.24)
a	a	a
Из теоремы Пифагора (см. рис. 1.12) следует
a \|a\|
		(an )2 (a )2		.	(1.25)

Возможны следующие частные случаи.

Прямолинейное равномерное движение (инерциальное движение). В этом случае = , v= const. Отсюда (см. (1.21) и

(1.23)): an= 0; a = 0; и поэтому а= 0.

	Прямолинейное неравномерное движение. Согласно (1.21)
и (1.23)			an= 0, поэтому a a			и a= a = dv/dt.

	При криволинейном движении с v= const a = dv/dt = 0;
	n	;	а = a	n	2
a	a	;	а = a		= v / .

Движение точки, при котором величина касательного ускорения постоянна a = const, называют равнопеременным. От-

сюда, согласно (1.21) dv = a dt, после интегрирования полу-

чаем v = a t +C1. Произвольную постоянную интегрирования

можно определить из начального условия: при t0 = 0 v								=v 0.
Имеем v	= C , следовательно,	v		=v		+	a t. Учитывая
0	1			0
(1.10) и умножая на dt, находим d			= v		dt +		a t dt.
				0

После интегрирования получаем = v 0 t + a t2/2 + C2.

Произвольная постоянная C2 определяется из начального условия при t0 = 0, = 0. Тогда 0 = C2 и

	=	0	+ v	t + a	t2/2.
		0	0

Итак, для равнопеременного движения

v v 0

a t;

0 v 0t 0,5a t2 . (1.26)

При решении задач почти всегда можно выбрать начало отсчета координаты так, что 0 = 0.

Смотрите также:

Confessio vs natio. Византийская богословская традиция как препона в формировании дискурсов этнонациональной идентичности средневековой Руси