Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Следовательно, при действии силы на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента силы на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем меньше, чем больше угловая скорость.

3) Работа сил трения, действующих на катящееся тело. На колесо радиуса R (рис. 16.6), катящееся по некоторой поверхности без скольжения, дей-

ствует сила трения FT ,

является мгновенным центром скоростей и vB = 0. Поскольку

d B vBdt, d B 0 и dA 0.

Следовательно, при качении без скольжения, работа силы трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равна нулю. Если считать тела недеформируемыми, а си-

лу нормальной реакции N приложенной в точке В, то работа

нормальной реакции N также будет равна нулю. Сопротивление качению, возникает вследствие деформа-

ций поверхностей (рис. 16.6, б), за счет которых возникает па-

ра сил (N , G ) с моментом M kN , где k - коэффициент трения качения.

235

нуля. Примером может служить явление отдачи (отката) орудий, при котором внутренние силы давления, действующие и на снаряд и на откатывающиеся части орудия, совершают положительную работу. Сумма этих работ положительна, и изменяет кинетическую энергию системы от величи-

ны T= 0 до выстрела до ве-

личины T 0 в конце выстрела.

1) Неизменяемая система. Неизменяемой называют систему, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил во время движения системы не изменяются. Такими системами являются абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.

Пусть две точки B1 и B2 неизменяемой системы (рис. 16.7), действующие друг на друга с силами F12i и F21i , имеют в данный момент скорости v1 и v2 . Тогда, за промежуток вре-

Поскольку отрезок B1B2 , не изменяет свою длину, то по из-

вестной теореме кинематики проекции векторов v1 и v2 , а

следовательно, и перемещений dr1 и dr2 на направление отрезка B1B2 , будут равны друг другу, т. е. B1B1 B2B2 . Тогда модули элементарных работ сил F12i и F21i будут одинаковы, а их знаки - противоположны и в сумме дадут нуль. Этот результат верен для всех внутренних сил при любом перемещении системы.

Следовательно, для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и (16.12) или (16.13) принимают вид

237

2) Система с идеальными связями. Пусть на систему, наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (16.12) примет вид

dT dAka dAkr ,

где dAka - элементарная работа внешних и внутренних актив-

ных сил, действующих на точку k системы, а dAkr - элемен-

тарная работа реакций внешних и внутренних связей, наложенных на ту же точку.

Как видно, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких механических системах, для которых связи не изменяют кинетическую энергию системы при ее движении. Для таких связей должно выполняется условие

Если для не изменяющихся со временем связей, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называют идеальными. Существует несколько видов идеальных связей.

В 9.6 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или линия), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тела вдоль такой поверхности

(линии) работа реакции N равна нулю.

В 16.2 было показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой поверх-

ности работа нормальной реакции N и силы трения FT , т. е. касательной составляющей реакции, равна нулю.

Работа реакции R любого шарнира, если пренебречь трением и зазором, будет также равна нулю, поскольку точка

238

приложения силы R при любом перемещении системы неподвижна.

Если материальные точки B1 и B2 (рис. 16.7), рассматри-

вать как связанные жестким (недеформируемым) стержнем B1

B2 , то силы F12i и F21i будут реакциями стержня. Работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ равна нулю. Таким образом, все рассмотренные связи с учетом перечисленных оговорок можно считать идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными постоянными связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, всех приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и заранее неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Теоремы об изменении кинетической энергии важна потому, что при постоянных идеальных связях она позволяет исключить из уравнений движения все заранее неизвестные реакции связей.

16.4. Решение задач Теоремой об изменении кинетической энергии удобно

пользоваться в тех случаях, когда движущаяся система является неизменяемой. В этих случаях теорема позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при постоянных связях и неизвестные реакции внешних связей.

В случае изменяемой системы теорема дает решение задачи только тогда, когда внутренние силы заранее известны. В противном случае (см. задачи 13.1, 14.2 и др.) получить реше-

239