Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

а цилиндр начинает при этом вращаться вокруг оси z в противоположном направлении. На какой угол повернется цилиндр за то время, в течение которого шарик опустится на расстояние, равное шагу

hвинтовой линии (рис. 15.8).

15.5.3.Сплошной цилиндр радиусом r , положенный, как указано на рис. 15.9, на цилиндрические ролики А и В, вращается с угловой ско-

остановится, если коэффициент трения между цилиндром и роликами равен f , а AOB 2 .

15.5.4. Для быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух электромагнитов, расположенных диаметрально противоположно и питаемых постоянным током. Токи Фуко, индуцируемые в массе маховика, при его движении около магнитов создают тормозящий момент M1 , пропорциональный скорости v точек обода

неподвижной горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О. Расстояние от точки О

225

до центра тяжести С диска равно 0,5r (рис. 15.10). Найти закон движения диска при малых колебаниях, а также период этих колебаний. В начальный момент угол отклонения

диска от равновесного положе-

угловая скорость равна нулю.

15.5.6. Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного на упругой вертикальной проволоке в жидкости. К диску приложен переменный момент, равный M sin(pt) (M const ), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен S , где - коэффициент вязкости жидкости, S - сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, - его угловая скорость. Определить коэффициент вязкости жидкости , если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна 0 .

15.5.7. Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, вращается с угловой скоростью 10 с-1 минуту: масса вращающихся частей равна m 20 т, а их радиус инерции относительно оси вращения турбины равен 1,5 м. Определить гироскопические давления на подшипники, расстояние между которыми l = 6 м, если судно поворачивается вокруг вертикальной оси на 2 / 12 рад/с.

15.5.8. С концом вертикального вала OO1 , шарнирно соединен горизонтальный стержень ОС, на который свободно насажен массивный цилиндрический каток (бегун). При вращении вала ОО, вокруг вертикальной

оси z бегун катится без скольжения по горизонтальной плоскости, на которую закладывается измельчаемый материал (рис.

226

15.11, а и б). Определить гироскопические реакции в точках О и А, а также усилие в стержне ОС, если заданы масса бегуна m , длина ОС = l, радиус бегуна R и угловая скорость вала

=const.

15.5.9.Диск вращается вокруг неподвижной оси. Центр масс диска лежит на оси вращения. Как изменится главный момент импульса диска, если его угловая скорость увеличится в 2 раза?

15.5.10.Определить главный момент импульса колеса массы M , катящегося по прямолинейному рельсу, если центр

масс диска движется по закону xC at .

15.5.11.Балка А массы M перемещается по горизонтали на двух катушках В и D массы m и радиуса r каждая, катящихся по земле без скольжения. Скорость центра масс каждой из катушек равна v (рис. 15.12).

15.5.12.Определить главный момент импульса кривошип-

но – ползунного механизма, если массы кривошипа и шатуна равны m , масса ползуна равна 0,5m, ОА= АВ= l, кривошип вращается с угло-

вой скоростью .

Рис. 15.13

227

Глава 16. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

16.1. Кинетическая энергия системы Кинетической энергией системы называется скалярная ве-

личина Т, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек системы

Кинетическая энергия имеется в любом движении системы, поэтому теоремой об изменении кинетической энергии особенно часто пользуются при решении задач. Главное отличие кинетической энергии от введенных ранее характеристик

L и K состоит в том, что T является величиной скалярной и неотрицательной. Кинетическая энергия не зависит от направлений движения частей системы и ее центра масс.

Следует помнить, что при определении T можно использовать только скорости материальных точек относительно одной и той же инерциальной системы. Поэтому кинетическая энергия системы тел относительно разных инерциальных систем отсчета оказывается различной.

Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям. По этой причине они, не влияют

на векторные характеристики L и K . Однако внутренние силы могут изменить модули скоростей точек системы, а следо-

вательно, и величину Т. Поэтому от величин L и K , кинетическая энергия системы отличается тем, что ее изменение зависит и от действий внутренних сил в этой системе.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна, очевидно, сумме кинетических энергий этих тел.

Получим формулы кинетической энергии тела для разных движений.

228

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс тела. Для любой точки vk vC и, согласно (16.1)

где M - масса системы.

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс и от направления движения не зависит.

Следовательно, кинетическая энергия тела во вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения величина Т не зависит.

3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 16.1). Следовательно, по формуле

229