Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

ет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все, заранее неизвестные, внутренние силы.

15.2.1. Теорема моментов относительно центра масс Чтобы применять теорему моментов к изучению плоско-

параллельного движения или движения свободного твердого тела, надо найти выражение для момента импульса системы при движении системы относительно центра масс. Пусть Оxyz - неподвижные оси (рис. 15.2), относительно которых движется рассматриваемая механическая система, а: Сx’y’z' - оси, перемещающиеся поступательно вместе с центром масс

С этой системы (рис. 15.2). При этом оси Сx’y’z' движутся поступательно с ускорением aC , равным ускорению центра масс.

В 10.3 было показано, что все уравнения динамики можно составлять в подвижной системе отсчета Сx’y’z' так же, как в неподвижной системе, если к действующим на каждую точку

оси подвижной системы отсчета Сx’y’z' движутся поступа-

тельно, переносное вращение отсутствует и кориолисовы силы

инерции равны нулю. Поэтому сила Fkie будет только пере-

носной. Следовательно, уравнение (18.6) в системе Сx’y’z' примет вид

При получении этого выражения учтено, что

и сумма моментов внутренних сил относительно любой точки равна нулю.

215

Здесь vk' - скорости точек системы относительно осей сис-

темы Сх’у'z'.

Выражение (15.8) можно упростить. По определению,

Fkie mkake . Так как оси Сх’у'z' движутся поступательно, то для любой из точек Вk системы переносное ускорение ake aC .

системы материальных точек относительно центра масс сис-

темы. Здесь rC' - вектор – радиус центра масс системы относи-

тельно точки С. Вынося общий множитель aC за скобку, по-

лучаем

mC(Fkie ) ( mkrkC' ) aC ) MrC' aC . (15.10)

Поскольку точка С - начало системы координат Сх’у'z' и rC' = 0 (15.10) обращается в нуль. Тогда (15.8) принимает вид

Из сравнения (15.11) с (15.6), следует, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром С масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра. Точно так же для моментов относительно осей Сх’у'z', из (15.11) получаются уравнения, аналогичные уравнениям (15.7).

Следует отметить, что в любой другой подвижной системе отсчета будет или rC' 0 , или будут не равны нулю кориоли-

совы силы инерции. Поэтому уравнение моментов будет сложнее, чем (15.11).

216

15.3. Закон сохранения главного момента импульса Из теоремы моментов получаются важные следствия.

1) Пусть сумма моментов всех внешних сил, действующих

на систему, относительно центра О, равна нулю

m0( Fke ) 0.

Тогда из уравнения (15.6) следует, что при этом Ko =

const. Следовательно, если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного центра равна нулю, то главный момент импульса системы относительно этого центра будет постоянен.

2) Пусть сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси Oz равна нулю

mz( Fke ) 0.

Тогда из уравнений (15.7) следует, что при этом Kz = const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой – либо оси равна нулю, то главный момент импульса системы относительно этой оси будет постоянным.

Эти результаты выражают закон сохранения главного момента импульса системы. Из них следует, что внутренние силы главный момент импульса системы изменить не могут.

Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси 0z. Тогда, по формуле (15.3), Kz Jz . Если в этом

случае mz( Fke ) 0, то Jz const.

Следовательно:

а) Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то Jz = const и, следовательно, = const, т. е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае равномерно.

б) Если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее части могут изменять свое положение относительно оси вращения, что вызовет изменение Jz . При увеличении расстояний точек от оси Jz увеличи-

217

вается, при уменьшении - Jz уменьшается. Поскольку Jz const, то при увеличении Jz ее угловая скорость будет умень-

шаться, а при уменьшении Jz - увеличиваться. Таким образом, внутренние силы могут изменить угловую скорость вращения системы, так как постоянство Kz , не означает вообще постоянства .

Рассмотрим некоторые примеры.

а) Опыты с платформой Жуковского. Для демонстрации закона сохранения момента импульса удобно пользоваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это - круглая горизонтальная платформа на опорных подшипниках качения, которая может с малым трением вращаться вокруг вертикальной оси z. Для человека, стоящего на такой платформе,

mz( Fke ) 0

и, следовательно, Jz const, Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе толчком вращение вокруг вертикальной оси, а затем опустит руки, то величина Jz , уменьшится и, следовательно, угловая скорость вращения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости вращения широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно ( Kz 0), может повернуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противоположном направлении. Угловая скорость вращения человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина Kz , системы человек - платформа осталась равной нулю.

б) Раскачивание качелей. Давлением ног (сила внутренняя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следующим образом. Когда качели находятся в одном из верхних положений, человек приседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется. При этом центр масс движущихся частей системы приближаются к оси

218

вращения z, величина Jz , уменьшается и угловая скорость возрастает. Это увеличение приводит к подъему качелей выше начального уровня. В результате размахи качелей будут возрастать. Увеличение кинетической энергии качелей происходит за счет энергии, выделяющейся в организме человека.

Происходящие при этом вынужденные колебания качелей называются параметрическими, так как они совершаются не под действием периодически меняющейся внешней силы, а вследствие периодического изменения параметров системы: ее момента инерции и положения центра масс относительно оси вращения.

в) Вращение снаряда в канале ствола орудия. Если рассматривать ствол и снаряд как одну систему, то силы давления пороховых газов при выстреле будут внутренними и не могут изменить величину момента импульса системы, который до выстрела был равен нулю. Следовательно, если при выстреле снаряд, благодаря наличию нарезки в стволе, начнет вращаться, например, вправо, то весь ствол при этом будет стремиться вращаться влево так, чтобы в каждый момент времени было Jсн сн Jст ст . Этому вращению препятствуют опоры, ко-

торыми ствол укреплен на лафете орудия. В результате появляется дополнительное давление на эти опоры.

г) Реактивный момент винта. Воздушный винт, установленный на вертолете, не только отбрасывает воздух вниз, но и сообщает отбрасываемой массе воздуха вращение. Суммарный момент импульса отбрасываемой массы воздуха и вертолета должен при этом остаться равным нулю, так как система вначале была неподвижна, а силы взаимодействия винта с воздухом внутренние. Поэтому вертолет начинает вращаться в сторону, противоположную направлению вращения винта. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом.

Чтобы устранить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соот-

219