Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

ветствующий рулевой винт. У двухвинтового вертолета несущие винты делают вращающимися в разные стороны.

Появление реактивного момента можно использовать для экспериментального определения вращающего момента авиационного двигателя, так как эти моменты равны друг другу по модулю, а реактивный момент можно измерить, установив двигатель с вращающимся винтом на соответствующих весах.

15.4. Решение задач Теоремой моментов пользуются для изучения вращатель-

ного движения тел или для изучения движения систем, включающих вращающиеся и поступательно движущиеся тела.

Закон сохранения момента импульса позволяет по величине скорости перемещения одной части системы определить изменение угловой скорости, или угол поворота другой ее части. При этом из рассмотрения исключаются все, как правило, неизвестные внутренние силы, а также внешние силы, не создающие моменты относительно оси вращения, то есть пересекающие ось вращения или параллельные этой оси.

Задача 15.1. Два диска насажены на общий вал (рис. 15.3). В некоторый момент времени вал слегка закручивают и предоставляют самому себе. Пренебрегая массой вала, определить зависимость между угловыми скоростями и углами поворотов дисков при их крутильных колебаниях, если моменты инерции дисков J1 , и J2, относительно оси z известны.

Решение. Чтобы исключить неизвестные упругие силы, вызывающие колебания дисков, рассмотрим оба диска и вал как одну систему.

220

ментов импульсов дисков относительно оси z должна быть равна нулю: Kz J1 1 J2 2 0 . При получении этого выражения использовано очевидное условие: момент импульса системы относительно оси z равен сумме моментов импульсов каждого из дисков относительно той же оси. Отсюда

1 J2 2 / J1 и 1 J2 2 / J1,

где 1 и 2 - углы закручивания дисков, отсчитываемые от начального положения.

Соотношение между углами получено интегрированием соотношения между скоростями.

Таким образом, колебания будут происходить с противоположно направленными скоростями, а угловые амплитуды колебаний будут обратно пропорциональны моментам инерций дисков. Неподвижное сечение вала будет ближе к диску с большим моментом инерции.

Задача 15.2. В регуляторе АВ, имеющем вертикальную ось вращения Oz (величина Jz регулятора известна), помещены два симметрично расположенных груза массы m каждый, прикрепленных к пружинам (рис. 15.4). В момент t0 = 0 угловая скорость регулятора имеет величину 0 , а каждый из

грузов начинает совершать одинаковые затухающие колебания около центра С, удаленного от оси z на расстояние l. Пренебрегая трением в

Рис. 15.4 опорах оси и считая грузы материальными точками,

определить закон изменения угловой скорости регулятора в зависимости от положений грузов.

Решение. Чтобы исключить неизвестные упругие силы пружин, рассмотрим регулятор и грузы как одну систему. То-

221

гда силы упругости пружин станут внутренними силами. Эти

вольный момент времени t величина Kz ( Jz 2m(l x)2 ) . Поскольку Kz0 Kz ,

Следовательно, когда x > 0, 0 , а когда x < 0, 0 .

Поэтому угловая скорость колеблется около среднего значения 0 . С течением времени при затухании колебаний гру-

зов х стремится к нулю и стремится к 0 .

Задача 15.3. По ободу круглой горизонтальной платформы массы M радиуса R проложены рельсы (рис. 15.5). Платформа вместе со стоящим на рельсах заводным вагончиком массы m вращается вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью0 . В некоторый момент времени

вагончик начинает двигаться по рельсам относительно платформы со скоростью u в сторону вращения платформы. Как изменится при этом угловая скорость платформы?

Решение. Чтобы исключить неизвестные силы трения между коле- Рис. 15.5 сами вагончика и платформой, считаем платформу и вагончик одной

системой. Моменты действующих на эту систему внешних сил относительно оси z равны нулю. Следовательно, Kz = const. Пусть платформа - однородный круглый диск, а вагончик - материальная точка. Тогда их моменты инерции относительно

222

оси z будут равны 0,5MR2 и mR2 . Момент импульса системы в начале движения вагончика Kz0 (0,5MR2 mR2 ) 0 .

Абсолютная скорость движущегося вагончика, равна v u R , где - мгновенная угловая скорость платформы. Момент импульса вагончика относительно оси z равен

mvR m(uR R2 ). Момент импульса системы

Kz1 (0,5MR2 m(uR R2 ).

Так как Kz = соnst, то Kz1 Kz0 . Следовательно

Как видно, при движении вагончика в сторону вращения платформы, угловая скорость платформы, уменьшается. Если вагончик будет двигаться в противоположную сторону, то угловая скорость платформы увеличится.

Задача 15.4. На барабан массы M и радиуса r (рис. 15.6) намотана нить с грузом А массы m на конце. Без учета массы нити и трения в опорах оси, определить угловое ускорение барабана при вертикальном движении груза, если радиус инерции барабана относительно его оси равен

.

Груз, движущийся поступательно, можно считать материальной точкой. Его скорость v r . Барабан вращается вокруг неподвижной оси. Следовательно,

223

K2 mvr m r2, K1 J0 M 2 .

Момент импульса системы Ko (M 2 mr2 ) .

Подставляя Ko в (а), получим

(M 2 mr2 ) mgr .

Отсюда определяется мгновенное угловое ускорение бара-

бана mgr /(M 2 mr2 ).

Это ускорение постоянно, что и следовало ожидать при постоянных движущих силах и силах сопротивления.

Аналогичный результат получается и при использовании основного закона динамики.

15.5.Задачи для самостоятельного решения

15.5.1.Механизм эллипсографа со-

стоит из ползунов А и В массой m каждый, кривошипа ОС весом массой m и лилинейки АВ массы 2m . Кривошип ОС вращается вокруг неподвижной оси Oz , перпендикулярной плоскости чертежа, с угловой скоростью . Найти момент импульса этой системы относительно оси Oz , рассматривая линейку АВ и кривошип

ОС как однородные тонкие стержни, а ползуны А и В - как материаль-

ные точки, если ОС= АС = СВ= l (рис. 15.7). 15.5.2. На поверхности круглого одно-

родного цилиндра радиусом r и массы М, который может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси z , имеется канал в форме винтовой линии; в этом канале находится шарик (материальная точка) массой m . В некоторый момент времени, когда система неподвижна, шарик начинает двигаться по винтовой линии под действием силы тяжести,

224