Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
произведен в противоположном направлении. Трением платформы о рельсы пренебречь.
14.7.9.Из ракеты массы M порциями выбрасываются продукты сгорания, массы которых m , со скоростью относительно ракеты u. Пренебрегая действием силы тяжести и сопротивлением воздуха определить скорость ракеты после вылета n - й порции, считая ракету сначала находящейся в покое.
14.7.10.Ракету массы M запускают вертикально вверх. Скорость истечения газов из сопла равна u. При каком расходе топлива (масса в единицу времени) сила тяги двигателя
будет достаточна, чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете ускорение a= 19,6 м/c2.
14.7.11. Мяч массой m = 150 г ударяется о гладкую стену под углом 30 к ней и отскакивает без потери скорости. Найти среднюю силу, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча v = 10 м/с, а время удара t = 0,1 c.
14.7.12. К телу, лежащему на горизонтальной плоскости, в начале времени t0 прикладывают силу F , направленную
вдоль плоскости. После чего тело движется до остановки в течение времени t. Найти силу трения.
210
Глава 15. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ
15.1. Главный момент импульса системы Понятие о моменте импульса материальной точки было
введено в 9.6. Главным моментом импульса (или кинетическим моментом) системы относительно центра О называется величина Ko , равная векторной сумме моментов импульса всех точек системы относительно этого центра
|
|
(15.1) |
Ko mo |
(mkvk ). |
|
Аналогично определяются моменты импульса системы от- |
||
носительно координатных осей |
|
|
Kx mx(mkvk ), |
|
|
Ky my(mkvk ), |
(15.2) |
|
Kz mz(mkvk ), |
|
|
здесь Kx , Ky , Kz - проекции Ko на координатные оси x, y, z.
В отличие от вектора импульса системы, который является характеристикой ее поступательного движения (см. 14.1), вектор Ko является характеристикой вращательного движения системы.
Следует помнить, что при вычислении вектора K всегда нужно брать абсолютные скорости всех движущихся точек или тел относительно данной системы.
Для выяснения смысла вектора Ko определим момент им-
пульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 15.1) его проекциями Kx , Ky , Kz на оси координат. Для оп-
ределения величины Kz , т. е. момента импульса вращающегося тела относительно оси z вращения рассмотрим вращение тела относительно этой оси.
Для точки тела с массой mk , отстоящей от оси вращения
на расстояние |
hk , скорость точки равна vk |
hk , а момент. |
|
импульса |
относительно |
оси |
вращения |
|
211 |
|
|
|
m |
z |
(m |
k |
v |
) m |
k |
v |
h |
m |
h2 . |
Для всех |
|||
|
|
|
|
k |
|
|
k k |
|
k |
k |
|
||||
|
точек абсолютно твердого тела угловая |
||||||||||||||
|
скорость постоянна. Поэтому для всего |
||||||||||||||
|
тела, как системы материальных точек, |
||||||||||||||
|
получаем |
|
|
|
|
v |
|
|
h2 ) . |
||||||
|
|
|
K |
z |
m |
z |
(m |
k |
) ( m |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k k |
|||
|
|
|
Величина, стоящая в скобках, являет- |
||||||||||||
Рис. 15.1 |
ся моментом инерции тела |
Jz относи- |
|||||||||||||
|
тельно оси z |
(12.3). Тогда |
|
||||||||||||
|
|
Kz |
Jz . |
|
|
|
|
|
|
|
(15.3) |
||||
Следовательно, момент импульса вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.
Момент импульса системы, состоящей из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, равен
Kz J1z 1 J2z 2 ... Jnz n . |
(15.4) |
Многие формулы для импульса и момента импульса тела по структуре аналогичны.
Импульс тела равен произведению массы тела (величины, характеризующей инертность тела при поступательном движении) на скорость центра масс тела. Момент импульса тела равен произведению момента инерции тела (величины, характеризующей инертность тела при вращательном движении) на угловую скорость тела.
По определению Kx mx(mkvk ). Для определения mx(mkvk ) следует, как и при определении момента силы,
спроецировать вектор mkvk на плоскость Oyz, т. е. на ось у', и
взять момент этой проекции относительно точки О. Из рис.
15.1 |
видно, что |
hk cos k xk . |
Поскольку vk cos k |
|
hk |
cos k xk , |
mx(mkvk ) (mkvk |
cos k )zk mk xk zk . |
|
Поскольку для точек твердого тела одинакова, |
|
|||
Kx (mkvk cos k )zk ( (mkxkk zk )) .
212
Сумма, стоящая в скобке, есть центробежный момент инерции Jxz (12.5). Аналогичное выражение получится для
Ky , если вместо xk |
подставить yk . Тогда |
|
Kx |
Jxz , Ky Jyz . |
(15.5) |
Таким образом, момент импульса вращающегося тела относительно центра О, лежащего на оси вращения Oz, является вектором Ko , проекции которого на оси Oxyz определяются
формулами (15.3) и |
(15.5). Поскольку в общем случае |
Jz Jxz Jyz , вектор |
Ko не направлен по оси вращения Oz. |
Если ось вращения Oz будет для тела главной осью инерции (в частности, осью симметрии), то Jxz Jyz 0 и Kx Ky 0 и Ko Kz . Следовательно, если тело вращается вокруг оси, яв-
ляющейся для тела главной осью инерции (или вокруг оси симметрии тела), то вектор Ko направлен вдоль оси вращения
иего модуль равен Kz Jz .
15.2.Теорема об изменении главного момента импульса системы (теорема моментов)
Теорема моментов для материальной точки (9.8), верна для каждой из точек системы. Для точки системы с массой mk
и скоростью vk
|
|
|
d |
|
|
|
e |
|
i |
|
|
|
|
|
|
mo |
(mkvk |
) mo |
(Fk |
) mo |
(Fk |
), |
|
|
|
|
dt |
||||||||
- равнодействующие всех внешних и внутренних |
|||||||||||
где Fe |
и Fi |
||||||||||
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сил, приложенных к данной точке.
Составляя такие же уравнения для всех точек системы, и складывая их, получим
d mo(mkvk ) mo(Fke ) mo(Fki ). dt
Последняя сумма - это сумма моментов внутренних сил системы и поэтому равна нулю. Тогда, согласно (15.1),
213
dK |
0 |
|
|
|
|
|
m ( Fe |
). |
(15.6) |
||
|
|
||||
dt |
o |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
Это уравнение выражает теорему моментов для системы тел: производная по времени главного момента импульса системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов относительно того же центра всех внешних сил, приложенных к телам системы.
Поскольку момент силы относительно некоторой оси равен проекции момента этой силы на эту ось, проецируя (15.6) на неподвижные оси Охуz, получим
|
dKx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
(Fe |
), |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
|
x |
k |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dKy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m |
y |
( Fe |
), |
(15.7) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
k |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dKz |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
(Fe |
). |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
|
z |
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эти уравнения выражают теорему моментов относительно неподвижной оси.
Эта теорема широко используется не только при изучении вращательного движения тела относительно произвольной оси, а также в теориях гироскопа и удара. В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае можно представить суммой поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс тела, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью теоремы моментов. Отсюда следует важность теоремы для изучения движения свободного тела (летящего самолета, снаряда, ракеты и т. п.) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения.
Ценность теоремы моментов состоит еще и в том, что она, аналогично теореме об изменении импульса системы, позволя-
214