Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
m1r1 m2r2 MR Vt C, |
(14.19) |
|
то есть вектор R скорости центра масс системы постоянен и |
||
центр масс системы движется в направлении вектора V / M . |
||
Соотношения (14.16)-(14.19) |
описывают поведение век- |
|
тора R, то есть поведение центра |
масс системы S . Для опре- |
|
деления конкретного движения центра масс нужно определить
6 скалярных постоянных величин, составляющих V и C вдоль осей координат. Однако соотношения (14.16) - (14.19) не позволяют определить положение конкретной точки во время движения.
Деля (14.13) на m1, а (14.14) на m2 , и вычитая второе уравнение из первого, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
12 |
). |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 r2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
m2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Подставляя сюда F21 F12 , получаем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
d2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)F12 . |
|
(14.20) |
||
r2 |
r1 |
|
|
(r2 r1 ) |
|
|
|
|
r |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dt2 |
dt2 |
m1 |
|
|
m2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть |
|
m1m2 |
. |
|
Величина |
|
называется приведен- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m1 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ной массой системы. Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
m1 |
m2 |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
(14.21) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m1 |
m2 |
|
|
|
m1m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
Тогда из (14.20) следует |
|
|
F12 Gm1m2r / r |
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
r |
F Gm m |
2 |
r / r3. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m1 m2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t )r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(14.22) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
GMr / r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где (t ) GM / r3 |
0 |
- |
|
функция взаимодействия точек; M - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
суммарная масса системы.
205
То есть ускорение точки 2 относительно точки 1 в любой момент времени направлено вдоль вектора r .
Интегрируя 2 раза это уравнение, получаем общие решения этого уравнения
|
|
|
|
|
, |
|
(14.23) |
|
r |
(t )rdt 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
, |
(14.24) |
|
r ( |
(t )rdt)dt 1t 0 |
||||||
где векторы 1 |
и 0 |
|
- произвольные постоянные интегриро- |
||||
вания. |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения конкретного движения точки 2 относительно 1 нужно найти два вектора 0 и 1 или 6 скалярных постоянных величин, определяющих проекции 0 и 1 на ко-
ординатные оси.
С учетом начальных условий из (14.23) и (14.24) получается уравнения для определения 0 и 1
r(t 0 ) r20 r10 0 , r(t 0) r20 r10 r0 1.
Векторное произведение (r r ) (r r ) (t ) 0 , то есть ускорение точки 2 относительно точки 1 в любой момент времени направлено вдоль вектора r .
Векторное произведение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r ) (r ( |
rdt 1 )) ((r |
rdt ) (r 1 )). |
||||||
По определению последний интеграл есть сумма беско-
нечно малых величин rdt, каждая из которых есть вектор, направленный вдоль r . Поскольку (r rdt ) (r r ) (t )dt 0
этот интеграл равен нулю. Следовательно
|
|
|
|
|
|
|
). |
(r |
r ) (r |
r |
) (r |
|
1 |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Пусть h (r r0 ). Вектор h перпендикулярен плоскости,
образуемой векторами r r0 . Следовательно, друг относитель-
но друга движение точек происходит в плоскости, проходящей перпендикулярно вектору h . Поскольку система двух точек
206
замкнутая, в ней выполняются законы сохранения полной механической энергии, импульса и момента импульса. Следовательно, момент импульса точек системы должен быть постоянен и равен моменту импульса в начальный момент времени.
Тогда h |
|
|
|
|
) const, |
то есть вектор h оп- |
(r(0) r |
) (r |
r |
||||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
ределяется начальным относительным положением точки 2 – вектором r0 и ее начальной относительной скоростью – вектором r0.
Соотношения (14.22) - (14.24) описывают поведение вектора r , то есть описывают движение точки 2 относительно точки 1. Движение точки 1 при этом остается не определенным.
Для определения движений точек относительно точки O можно использовать соотношение
|
R (m1r1 m2r2 )/(m1 m2 ) (m1r1 m2r2 )/ M . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
|
1 |
|
r |
|
|
2 |
r . |
|
|
|
|
(14.25) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Второе соотношение имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r r2 r1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.26) |
|||||||||
чаем |
Разрешая эти соотношения относительно r1 и r2 , полу- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
r R |
|
|
2 |
|
r , |
r |
|
R |
|
|
1 |
r . |
(14.27) |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
M |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Дифференцируя эти соотношения по времени получаем |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
r1 R |
|
|
|
|
r |
, r1 R |
|
|
|
|
|
r , |
|
(14.28) |
||||||||||
|
M |
|
|
M |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
r |
R |
|
|
|
1 |
r , r R |
1 |
r . |
(14.29) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая ранее определенные зависимости r(t ), R(t ), |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(t ) |
и R(t ), получаем искомые законы движения точек. |
||||||||||||||||||||||||
207
|
Рис. 14.8 |
|
|
При m1 m2 и мало отличаю- |
|
|
щихся массах точек траекториями то- |
|
Рис. 14.7 |
чек в относительном движении явля- |
|
ются окружности (рис. 14.7). Центры |
||
|
окружностей расположены в центре масс системы S . Точки 1 и 2 всегда расположены на прямой, проходящей через центр масс, а их скорости направлены противоположно друг другу. При m1 m2 траекториями точек в относительном движении являются эллипсы (рис. 14.8), фокусы которых лежат на одной линии. Точки 1 и 2 всегда расположены на прямой, проходящей через центр масс, а их скорости направлены противоположно друг другу. В обоих случаях центр масс S движется от-
носительно точки О равномерно и прямолинейно со скоростью |
|
|
|
|
|
vS |
R(t ). |
14.7.Задачи для самостоятельного решения
14.7.1.Мотор, массой M, прикреплен к фундаменту болтами (рис. 13.3). Масса ротора мотора равна m , а его центр масс В смещен относительно оси вращения на расстояние AB
=e . Ротор вращается по закону 0,5 t2 Определить верти-
кальное давление мотора на фундамент и горизонтальную силу, приходящуюся на все болты, в момент времени t 1 с.
14.7.2. Доска массой M может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом к горизонту. В каком направлении, и с каким ускорением должна бежать по доске собака массой m , чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?
208
14.7.3. Снаряд массой m= 50 кг, летит со скоростью v =
800 м/с под углом 30 к вертикали и попадает в платформу с песком и застревает в нем. Найти скорость платформы после
попадания в нее снаряда, если ее масса M 16 т. |
|
|
|
14.7.4. Летящий со скоростью v = 600 м/с |
под |
углом |
|
30 |
к горизонту снаряд разрывается на два осколка равной |
||
массы. |
Один из осколков начинает двигаться |
под |
углом |
60 |
к горизонту. Другой падает вертикально вниз. Найти |
||
скорость первого осколка.
14.7.5. Человек прыгает с берега в лодку, которая плывёт со скоростью v1 . Определить скорость лодки вместе с челове-
ком, если при прыжке скорость человека была равна v2 и на-
правлена горизонтально перпендикулярно скорости v1 . Масса лодки m1 , человека m2 . Погружением лодки после прыжка и трением о воду пренебречь.
14.7.6. По рельсам со скоростью v катится тележка массы М. Человек массы m прыгает на тележку перпендикулярно
рельсам. Как изменится скорость тележки после |
|
прыжка? |
m1 m и |
14.7.7. Две частицы массами |
|
m2 2m движутся во взаимно - |
перпендику- |
лярных направлениях со скоростями соответст- |
|
венно 2v |
и (рис. 14.9). На частицы начинает |
Рис. 14.9 |
|
|
действовать одинаковая сила. Определить величину и направление скорости второй частицы в момент вре-
мени, когда скорость первой частицы стала равной -v1. 14.7.8. Железнодорожная платформа с установленным на
ней орудием движется со скоростью v1= 9 км/ч. Общая масса
M= 20 т. Из орудия выпущен снаряд массой m = 25 кг со скоростью v2 = 700 м/с относительно платформы. Определить
скорость платформы после выстрела: а) когда выстрел произведен в направлении движения платформы; б) когда выстрел
209