Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Глава 17. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ МЕХАНИКИ К ТЕОРИИ УДАРА

17.1. Основное уравнение теории удара При движении тела под действием сил, рассматривавших-

ся выше, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. любому бесконечно малому промежутку времени соответствует бесконечно малое приращение скорости. Действительно, если импульс некоторой силы Fk за промежуток времени

~ ~

представить в виде Fk , где Fk - средний вектор этой силы за время , то согласно теореме об изменении импульса точки, на которую действуют силы Fk ,

~ m(v1 v0 ) Fk .

Здесь v1 и v0 - скорости тела после и до удара.

~

Пусть v - средняя скорость точки за время удара. Если время удара стремится к нулю, то при обычных (конечных)

стремиться к нулю.

Если среди действующих сил будут очень большие силы, имеющие порядок 1/ , то приращение скорости за малый промежуток времени станет конечным.

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, под действием которых происходит удар, называются ударными силами Fu .

Малый промежуток времени , в течение которого происходит удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и значительно изменяются за время удара, то в теории удара взаимодействие тел оценивают не ударными силами, а их импульсами, называемыми ударными импульсами.

260

Ударный импульс силы

~

pu Fudt Fu

0

является конечной величиной. Импульсы прочих сил за времяобычно очень малы и ими, обычно, пренебрегают.

Пусть v и u - скорости точки в начале и в конце удара. Тогда теорема об изменении импульса точки при ударе примет вид

т. е. изменение импульса материальной точки за время удара равно сумме действующих на материальную точку ударных импульсов.

Уравнение (17.1) является основным уравнением теории удара. Его значение в теории удара так же велико, как велико значение основного закона динамики (второго закона Ньюто-

на) в изучении обычных движений.

~

Поскольку перемещение точки за время удара, равное v , является очень малым, им также можно пренебречь.

Из полученных результатов следует, что:

1)действием неударных сил, таких, например, как сила тяжести, трения и других за время удара можно пренебречь;

2)перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тела во время удара неподвижными;

3)изменения скоростей точек тела за время удара определяются основным уравнением теории удара (17.1).

Поскольку при описании ударных явлений импульсы неударных сил не учитываются, далее импульсы ударных сил и

ударные силы обозначаются прежними символами p и F .

17.2. Общие теоремы теории удара Эти теоремы являются следствиями из общих теорем ди-

намики для удара в системе материальных точек.

261

17.2.1. Теорема об изменении импульса системы при ударе Полученное в гл. 14 уравнение (14.5)

L1 L0 Fkedt ,

0

применимо и для удара. Здесь L1 и L0 - суммарные импульсы

системы тел после и до удара; Fke - внешние для системы си-

лы. Так как импульсы обычных сил при ударе не учитывают,

то в правую часть включают только ударные импульсы – им-

пульсы ударных внешних сил Fke . Поэтому

т. е. изменение импульса системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов pke сил, действующих на

системy.

В проекциях на ось х

Если сумма всех векторов внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из (17.2), импульс системы за время удара не изменится.

Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить импульс всей системы.

17.2.2. Теорема об изменении главного момента импульса системы (теорема моментов) при ударе

Пусть система, состоит из n материальных точек, а pke и pki - равнодействующие внешних и внутренних ударных им-

пульсов, действующих на точку с массой mk . Тогда, согласно

(17.1), для этой точки

mk(uk vk ) pke pki

или

262

mkuk mkvk pke pki .

Входящие в это равенство векторы определены для точки, остающейся неподвижной за время удара. Тогда, моменты этих векторов относительно какого - либо центра О, по теореме Вариньона, верной для моментов любых векторов, будут равны

Складывая такие же равенства для всех точек системы,

получим

mo(mkuk ) mo(mkvk ) mo( pke ) mo( pki ).

Пусть K1 и K0 -суммы, стоящие слева, то есть главные

моменты импульса системы относительно центра О после и до удара. Стоящая справа сумма моментов ударных импульсов внутренних сил равна нулю. Поэтому

т. е. за время удара изменение главного момента импульса системы относительно какоголибо центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов.

Теорема (17.4) может быть получена на основе доказанной выше теоремы 15.2 об изменении главного момента импульса для системы

где K и mo( Fke ) - главный суммарные момент импульса сис-

темы и момент силы Fke относительно неподвижной точки О.

Интегрируя это выражение в течение времени удара , и учитывая, что плечи сил за время удара не изменяются, поскольку точки и тела системы за время удара не перемещаются, получим

263

Проецируя (20.4) на ось х получаем

Из этих соотношений следует, что если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого - либо центра (или оси) равна, нулю, то главный момент импульса системы относительно этого центра (или оси) за время удара не изменяется.

Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить главный момент импульса системы.

Теорема об изменении кинетической энергии для решения основной задачи динамики в теории удара не применяется, так как точки тел за время удара считаются неподвижными и поэтому работы всех приложенных к системе сил равны нулю;

вместо самих ударных сил рассматриваются их ударные импульсы.

Поскольку ударные силы велики, а перемещения за время удара очень малы, определить работу ударных сил непосредственно по силе и перемещению нельзя. Работу этих сил оценивают только по изменению кинетической энергии системы тел за время удара.

17.3. Коэффициент восстановления при ударе Величина ударного импульса, возникающего при соуда-

рении двух тел, зависит не только от их импульсов до удара, но и от свойств соударяющихся тел, в основном от их упругости. Проявление этих свойств при ударе характеризуются коэффициентом восстановления.

Рассмотрим прямой удар вертикально поступательно падающего шара о неподвижную, горизонтальную жесткую плиту (рис. 17.1). При таком ударе можно различить две стадии. На первой стадии скорости частиц шара, равные в начале удара v , убывают до нуля. Шар при этом деформируется и вся его

начальная кинетическая энергия, равная 0,5Mv2 , переходит в его внутреннюю потенциальную энергию деформирования. На

264