Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Пусть АВ= b, а расстояние точки С от оси Az равно а. Составим уравнения (17.3) в проекциях на все оси, а уравнения (17.5) в проекциях на оси Ах и Ау (уравнение в проекциях на ось Аz уже использовано при получении равенства (17.19)). Поскольку тело за время удара не перемещается, векторы vC и

uC будут параллельны оси Ах. Следовательно,

L0x MvC Ma 0 , L1x MuC Ma 1, Ly Lz 0.

Используя одновременно при составлении уравнений (17.5) формулы Kx Jxz и Ky Jyz , получим

Ma( 1 0 ) RAx RBx px ,

Jxz( 1 0 ) RByb mx( p),

Jyz( 1 0 ) RBxb my( p).

Эти уравнения применяются для определения неизвестных импульсных реакций RAx , RAy RAz, RBx и RBy. Входя-

щая в (17.21) разность угловых скоростей 1 0 , определя-

ется из (17.19).

17.7.2. Центр удара Появление при ударе импульсных реакций в некоторых

случаях нежелательно. Во многих случаях импульсные реакции желательно максимально уменьшить. Можно ли точку приложения и направление ударного импульса подобрать так, чтобы импульсные реакции не возникли? Для этого положим в уравнениях (17.21) RA RB 0. При этом 2- 3 уравнения сис-

темы (17.21) дадут py pz 0, то есть направление ударного

импульса должно быть перпендикулярно плоскости Аyz, проходящей через ось вращения и центр масс тела. Пусть импульс p имеет такое направление (рис. 17.8, б).

275

инерции (в частности, плоскость Оху может быть плоскостью симметрии тела);

2) удар был направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс С тела;

3) ударный импульс был приложен на расстоянии h Jz / Ma от оси z по ту сторону от оси, где находится центр масс.

Точка К, через которую должен при этих условиях проходить ударный импульс, не вызывающий ударных реакций в точках закрепления оси, называется центром удара.

По теореме Гюйгенса Jz JC Ma2 . Следовательно, h a JC / Ma a и расстояние от оси вращения до центра

удара больше, чем до центра масс.

Если ось вращения проходит через центр масс тела, то а = О, и h . В этом случае центра удара на конечном расстоянии не существует, и любой удар по телу будет передаваться на ось.

Важность полученных результатов видна из следующих примеров:

1.При конструировании вращающегося курка (см. задачу

1)или маятникового копра - прибора в виде маятника, применяемого для испытания материалов на удар, и т. п. надо ось вращения располагать так, чтобы точка тела, производящая удар, была по отношению к этой оси центром удара.

2.При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была относительно руки центром удара. В противном случае рука будет получать быстрый и сильный удар от рукоятки.

3.При ударе палкой, чтобы не получить сильный удар по руке (рис. 17.9), надо ударять тем местом, которое по отношению к месту удержания палки рукой будет центром удара. Если палку считать однородным стержнем длины l, а ось враще-

ния совпадающей с его концом, то тогда a l / 2. Jz Ml2 / 3

и h Jz / Ma 2l / 3.

277

Следовательно, в случае, изображенном на рис. 17.9, удар надо производить тем местом стержня, которое находится на расстоянии 2l / 3 от руки или на расстоянии l / 3 от другого конца стержня.

Задача 17.1. Вращающийся курок AD в момент начала удара по ударнику В (рис. 17.10) имеет угловую скорость 0 .

Определить скорость ударника в конце удара и импульсное давление на ось А. Массы М и m курка и ударника, момент инерций JA курка относительно оси А и расстояния a и b известны. Центр масс курка находится в точке С.

Решение. Обозначим ударные импульсы, действующие на курок и ударник при ударе через S1 и S2.

Тогда, учитывая, что S1 S2 S , а vB 0, из уравнения (17.15) для курка и из уравнения (17.3) для ударника, получим

JA( 1 0 ) Sb , muB S . (а)

Момент Sbвзят со знаком минус потому, что этот момент направлен противоположно направлению вращения курка. Пусть vD и uD - скорости точки D до и после удара. Очевидно, что vD 0b и uD 1b. По формуле (17.8), определяющей коэф-

фициентвосстановленияпри прямом ударе двухтел,определяем uD uB k(vD vB ) или 1b uB k 0b.

Подставляя сюда 1 и S из уравнений (а), найдем скорость ударника в конце удара

uB JA(1 k ) 0 /( JA mb2 ).

Для определения импульсной реакции RA оси на курок, составляем уравнение (17.2) в проекциях на оси Ах и Ау. Учитывая, что

278

L0x MvCx M 0a L1x MuCx M 1a

S muB , 1 0 mbuB / JA.

Подставляя эти величины в равенство (б), получим

RAx ( JA Mab)mb(1 k ) 0 /( JA mb2 ).

Отсюда видно, что если b JA / Ma, то точка D является центром удара и величина RAx =О. При Mab JA RAx 0, т. е.

импульсное давление на курок направлено влево, а давление на ось - вправо. При Mab JA давление на ось направлено влево.

17.8.Задачи для самостоятельного решения

17.8.1.Мяч массой m отпустили на высоте H над полом. Какую часть энергии потерял мяч при ударе, если между первым и вторым ударами прошло время t ?

17.8.2.По рельсам катится массивная тележка с постоян-

ной скоростью v0 . Летящий вслед за тележкой горизонтально

со скоростью v мяч массой m упруго ударяется о тележку. Найти скорость мяча после удара.

17.8.3.Шарик, падающий вертикально со скоростью v= 4 м/с, ударяется о горизонтальную платформу, движущуюся горизонтально со скоростью u= 3 м/с. Определить скорость движения шарика после удара и её направление относительно платформы. Удар абсолютно упругий.

17.8.4.Два тела с одинаковыми массами m движутся навстречу друг другу во взаимно перпендикулярных направлениях со ско-

ростями v1 и v2 . В результате соударения тела слипаются. Определитьпотеримеханическойэнергиисистемызавремяудара.

17.8.5. Свинцовый шар массой m1 = 500 г, движущийся со скоростью v= 10 м/с, соударяется с подвижным шаром из вос-

279