Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

8.10.6. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила R , равномерно убывающая с течением времени и по истечении T с. обращающаяся в нуль. Какой скорости достигнет точка при t T с. и какой путь она пройдет за это время, если в начальный момент (t= 0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно a0 >0 (рис. 8.5)?

8.10.7. Материальная точка М массы m движется прямолинейно в положительном направлении оси Ох. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой R , пропорциональной массе m и расстоянию от центра О, причем коэффициент пропорциональности равен k = 4. Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно x0 5 м, а

начальная скорость v0 2 м/с (рис.

8.5).

8.10.8. Материальная точка массы m= 0,1 кг движется прямоли- Рис. 8.11 нейно под действием постоянной силы F 0,3 Н. Движение происходит

в среде, сила сопротивления которой выражается линейной

функцией, скорости R 0,2v 0,1v2 , где v - скорость точки. Найти закон движения точки, если начальная скорость и начальная координата равны нулю (рис. 8.11).

8.10.9. Начальная скорость снаряда v0 = 490 м/с. Под ка-

ким углом к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами y = 700 м, z = 680 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.

85

8.10.10. Частица М массы m, несущая положительный заряд электричества e, влетает в однородное электрическое

поле постоянной напряженности E , направленной горизонтально в положительном направлении оси x, с вертикальной скоростью v0 . Описать дальнейшее движение частицы, зная,

что в электрическом поле на нее действует сила F eE , направленная в сторону, противоположную напряженности поля.

При решении задачи учесть действие силы тяжести G mg . 8.10.11. Материальная точка М массой m отталкивается

от неподвижного центра О силой F cr , где r - расстояние точки М от центра О, а c - постоянный коэффициент. В начальный момент расстояние r0 OM0 a, а скорость точки

v0 - перпендикулярна к направлению OM0. Найти закон дви-

жения точки М и уравнение ее траектории. Ось x системы координат провести через точкуM0 горизонтально, а ось y пер-

пендикулярно оси x вверх.

8.10.12. Точка М массой m= 0,1 кг движется под действием силы, которая притягивает ее к неподвижному центру О и пропорциональна расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности c = 0,6 H/см Движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности =0,5 Н*с/м. Начальные условия: x0 = 0, y0 = 30 м,

v0x 20 м/с, v0y 10 м/с. Найти уравнения движения точки при отсутствии силы тяжести.

86

Глава 9. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Для решения многих задач динамики, особенно динамики системы, вместо интегрирования дифференциальных уравнений движения удобнее использовать так называемые общие теоремы, являющимися следствиями основного закона динамики.

Общие теоремы устанавливают более простые и наглядные зависимости между основными динамическими и кинематическими характеристиками движения тел и дают принципиально новые возможности исследования движений механических систем. Эти теоремы широко применяются в инженерной практике. Кроме того, общие теоремы позволяют изучать отдельные, важные стороны данного явления, не изучая явление в целом. При использовании общих теорем можно избежать некоторых операций интегрирования, которые производятся при выводе этих теорем. Этим самым упрощается процесс решения. В данной главе рассмотрены общие теоремы механики для материальной точки.

9.1. Импульс и кинетическая энергия точки Основными динамическими характеристиками движения

точки являются импульс и кинетическая энергия.

Импульсом точки называется векторная величина p mv , равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен вектор p так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к траектории точки.

Кинетической энергией точки называется скалярная величина T =0,5mv2 , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Следует помнить, что при определении T можно использовать только скорость материальной точки относительно данной системы, то есть относительную скорость. Поэтому кинетическая энергия точки относительно ИСО определяется с

87

точностью до некоторой неизвестной постоянной величины, зависящей от массы точки и скорости движения этой системы.

Единицами измерения этих величин в СИ являются 1 кг*м/с (для p) и 1 Дж (Джоуль) = 1 Н*м= 1 кг*м2/с2 (для T ).

Необходимость введения двух динамических характеристик вызвана тем, что ни одна из них не отражает все особенности и характеристики движения точки.

Например, зная импульс автомобиля (т. е. величину p mv , а не величины m и v в отдельности) и действующую на него силу при торможении, можно определить время движения автомобиля до остановки, но по этим данным нельзя найти пройденный за это время путь. Наоборот, зная начальную кинетическую энергию автомобиля и тормозящую силу, можно определить тормозной путь, но нельзя найти время торможения.

9.2. Импульс силы Импульс силы используется для определения действия си-

лы на тело за некоторый промежуток времени.

Пусть t - элементарный промежуток времени действия

F силы на точку. Элементарным импульсом силы называется вектор

Вектор элементарного импульса направлен так же, как и сила.

Импульс p силы F за конечный промежуток времени

0,t1 определяется интегрированием соответствующего элементарного импульса

88

В частном случае, если модуль и направление силы F по-

стоянны (F = const), то p Ft1. В этом случае модуль импуль-

са p = Ft1.

Учитывая, что интеграл - это предел суммы, а проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось, проекции импульса на оси координат

По этим проекциям можно определить вектор p и найти его модуль и углы, образованные им с осями координат.

Для решения основной задачи динамики важно выделить те силы, импульсы которых можно определить заранее, не зная закона движения точки под действием этих сил. Из равенств (9.3) видно, что такими силами являются только постоянные силы и силы, зависящие от времени.

Для определения импульсов сил, зависящих от координат или от скорости движения точки, надо дополнительно знать закон ее движения, т. е. уравнения x f1 t , y f2 t , z f3 t . Тогда выразив х, у, z или vx ,vy ,vz через t, можно оп-

ределить интегралы (9.3). Не зная закона движения точки, т. е. не решив предварительно основной задачи динамики, импульсы таких сил определить не возможно.

9.3. Теорема об изменении импульса точки При постоянной массе точки с учетом того, что, ускорение

точки a v dv / dt, основной закон динамики (9.3) представим в виде

Уравнение (9.4) выражает одновременно теорему об изменении импульса точки в дифференциальной форме: производная по времени от импульса точки равна векторной сумме действующих на точку сил.

89