Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

8.8. Криволинейное движение точки Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся

под действием сил F1, F2 , Fn . Выберем неподвижные коор-

динатные оси Oxyz (рис. 8.8). Проецируя обе части равенства ma Fk на эти оси и учитывая, что ax x и другие соот-

ношения, получим дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат

Так как действующие на точку силы могут зависеть от времени, положения точки и ее скорости, то, как и в уравнении (8.9), правые части уравнений (8.16) могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее

скорости vx x , vy y, vz z. Уравнения (8.16) позволяют решать

любую из задач динамики. Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, учесть начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный

Рис. 8.8 момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при t= 0

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений (8.16) найдем координаты х, у, z движущейся точки, как функции времени t, т. е. найдем закон движения точки. Эти функ-

начальным условиям движения (8.17). Пример интегрирования уравнений (8.16) приводится в 8.9.

80

Примером криволинейного движения материальной точки является движение небольшого тела массы m, брошенного с начальной скоростью v0 под углом к горизонту.

Дифференциальные уравнения движения можно составлять в проекциях не только на оси декартовой (прямоугольной системы) координат, но и на оси криволинейных систем координат.

8.9. Движение точки, брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести

Пусть сопротивление воздуха отсутствует. Если дальность полета и высота траектории тела малы в сравнении с радиусом Земли, то поле сил тяжести можно считать однородным, полагая g = const .

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось Оу вертикально вверх; горизонтальную ось Ох расположим в плоскости, проходящей через Оу и вектор v0 а ось Oz перпендикулярна первым двум осям (рис. 8.9).

Начальные условия имеют вид: при t= 0 81

Из начальных условий следует

Подставляя эти выражения в полученные выше решения, и заменяя vx , vy , vz , на x, y и z , получим уравнения

x v0 cos , y v0 sin gt , z 0.

Интегрируя эти уравнения, получим

Подстановка начальных данных дает C4 C5 C6 0, и

уравнения движения точки М принимают вид

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Oxy.

Имея уравнения движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений

(8.18) время t, получим уравнение траектории точки

Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжелая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе.

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность X , т. е. измеренное вдоль оси Ox расстояние ОС. Полагая в равенстве (8.19) у= 0, получаем уравнение для определения координаты точки пересечения траектории с осью Ох

gx

x(tg 2v02 cos2 ) 0. Тогда x1 0, x2 g 12v02 cos sin .

82

Первое решение соответствует точке О, второе точке С. Следовательно, X x2, и

можно попасть по двум траекториям: пологой (настильной) ( 45 ) и крутой (навесной) ( 45 ).

При заданной начальной скорости v0 , наибольшая гори-

зонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда sin2 1, т. е. при угле 45 .

3. Высота траектории. Высота траектории H следует из

Полученные результаты практически вполне применимы для ориентировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка сотен километров,

так как при этих дальностях (и при угле 45 ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивление воздуха атмо-

83

сферные потоки (ветры). При дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной, а гравитационное поле Земли однородным, поскольку силы тяготения, вызванные Землей, образуют поле центральных сил - сил, сходящихся в одной точке - центре Земли.

8.10.Задачи для самостоятельного решения

8.10.1.Клеть массой m поднимается с помощью каната, навернутого на барабан радиуса R , вращающийся вокруг не-

подвижной горизонтальной оси по закону 0,5 (e t

e t ) ch( t ). Определить силу натяжения каната как функцию высоты подъема h (рис. 8.10).

8.10.2. Материальная точка массой m= 0,5 кг совершает движение согласно уравнениям;

x 2t2 1; y t2 1; z t3 1;

причем координаты точки выражены в метрах, время - в секундах. Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент t 1 с.

8.10.3. Материальная точка массой m = 2 кг описывает криволинейную траекторию по закону s 12sin(0,5t ) (s выражено в м, t- в сек). В данный момент она занимает положе-