Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

На автомобиль действуют сила тяжести mg и реакция

моста N . Уравнение движения автомобиля имеет вид an mg N .

В проекции на нормаль (перпендикуляр) к поверхности дороги, получаем mv2/R mg - N .

Отсюда N m(g -v2/R).

Сила давление на мост равно по модулю N , но направлена вниз.

Задача 8.4. Кривошип ОА длины l, вращаясь равномерно с угловой скоростью, перемещает без трения кулису К, движущуюся поступательно вдоль горизонтальной направляющей 1 (рис. 8.4). Найти

силу давления Q ползуна А на кулису, если ее масса равна m.

Решение. Положение кулисы определяется координатой x lcos . Так как

t , то кулиса будет двигаться по закону x lcos t . Составляя для кулисы уравнение (8.5) в проекциях на ось

Ох, получим max Qx .

чаем m 2x Qx , Q m 2 x .

Следовательно, давление ползуна на кулису изменяется пропорционально ее расстоянию x от центра О.

Из рассмотренных примеров видно, что первая задача динамики решается довольно просто. Если ускорение движущейся точки не задано, то оно определяется методами кинематики.

70

8.6. Прямолинейное движение точки Из кинематики известно, что при прямолинейном движе-

нии скорость и ускорение точки всегда направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление действия силы и ускорения совпадают, при постоянном направлении силы свободная МТ будет двигаться прямолинейно. Скорость точки также будет направлена же вдоль силы.

Пусть МТ, движется прямолинейно под действием прило-

женной к ней силы R Fk . Положение точки на траектории

определим ее координатой х (рис. 8.5). Основная задача динамики в этом случае состоит в определении закона движения

точки, т. е. функции x f(t) по функции R(t ). Проецируя обе части уравнения (8.3) на ось Ох, получим

max Rx Fkx .

d2x

Поскольку ax dt2 x,

Уравнение (8.6) называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Часто уравнение (8.6) удобно заменять системой дифференциальных уравнений первого порядка

dx

dt vx x.

Для определения зависимости скорости непосредственно от координаты х, а не от времени t, а также при силах, зависящих от x, первое уравнение (8.7) преобразуют к переменной vx(x)

71

Тогда вместо первого уравнения (11.7) получим

Решение основной задачи динамики состоит в определении по известным силам закона движения точки, т. е. x= f(t). путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений.

Силы, входящие в правую часть (8.6) могут зависеть от времени t, от координаты точки x и от ее скорости, т. е. от vx x, (см. задачу 8.1). Следовательно, в общем случае урав-

нение (8.6) является дифференциальным уравнением 2-го порядка

Решение этого уравнения определяется по структуре его правой части. При интегрировании уравнения (11.9) в решение войдут две произвольные постоянные интегрирования C1 и

Для определения C1 и C2 используются так называемые начальные условия (условия Коши).

Всякое движение начинается или рассматривается с некоторого начального момента времени. От этого момента обычно отсчитывают время движения, считая, что в начальный момент t = 0. Начальные условия движения точки определяются ее положением и скоростью при t = 0, называемыми начальным положением и начальной скоростью точки. Если в начальный момент точка двигалась, то ее начальная скорость отлична от нуля. Следовательно, для решения основной задачи динамики необходимо, кроме действующих сил, знать еще и начальные условия движения точки.

В случае прямолинейного движения начальные условия

По начальным условиям можно определить постоянные C1 и C2 и найти частное решение уравнения (8.9) в виде

Эта функция называется общим решением уравнения (8.9) для данной задачи.

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия в виде (8.11). Решения (8.13) и (8.14) должны быть верны в любой момент времени, включая и t= 0. Поэтому, подставляя в (8.13) и (8.14) вместо t нуль, получаем

Как видно из (8.15), точка под действием постоянной силы совершает равнопеременное движение, что можно было пред-

сказать заранее, так как если Q= const , то и a = const . В частности, таким является движение точки под действием силы тяжести при небольших перемещениях. Если ось Ох направить вертикально вниз, то уравнение (8.15) для свободно падающей

материальной точки x x0 v0xt 0,5gt2 .

73

8.7. Решение задач Решение задач динамики интегрированием дифференци-

альных уравнений движения сводится к следующим операциям.

1.Составление дифференциального уравнения движения. Для чего необходимо:

а) Выбрать начало отсчета, как правило, совместив его с начальным положением точки. Если под действием приложенных сил точка может находиться в каком - либо положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении равновесия. Выбрать координатную ось вдоль линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения.

б) Изобразить движущуюся точку в произвольном положении, проще всего при x 0, и обозначить все действующие на точку силы.

в) Сумму проекций всех сил на координатную ось подставить в правую часть дифференциального уравнения движения. При этом все функции, входящие в уравнение, следует выразить через те величины (t, х или v), oт которых зависят силы. Силы, зависящие от скорости, следует перенести в левую часть

ивыразить скорость через t или х.

2.Интегрирование дифференциального уравнения движения. Оно производится методами, известными из курса высшей математики в зависимости от свойств уравнения и вида его правой части (8.9). В тех случаях, когда на точку, кроме постоянных сил, действует одна переменная сила, зависящая только от одной из переменных t, х или v, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных (см. задачи 8.5- 8.7). Если в задаче требуется определить только скорость движения, то часто можно ограничиться интегрированием уравнения (8.7) или (8.8).

3.Определение произвольных постоянных интегрирования. Для этого надо по данным задачи установить начальные условия в виде (8.11). Значения постоянных по начальным условиям находятся так же, как в 8.6.

74