Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Если дифференциальное уравнение движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах. Такой подход использован в задаче 8.7.

4. Определение искомых величин и исследование полученных результатов. Для исследования решения, а также косвенной проверки результатов методом размерностей, надо все решение проводить до конца в алгебраическом виде, подставляя числовые данные только в конечные формулы.

Изложенные выше методики применимы и к криволинейному движению.

Примеры решения задач.

8.7.1. Сила зависит от времени

Задача 8.5. Тело массой m начинает движение из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы R , модуль которой растет пропорционально времени по закону R kt . Определить закон движения тела.

Решение. Пусть начало отсчета О совпадает с начальном положением тела и ось Ох направлена в сторону движения (см. рис. 8.5). Тогда начальные условия будут: при t= 0 х= 0, vx= 0.

Изображаем в произвольном положении тело и действующие

Умножая обе части этого равенства на dt , снова разделим переменные и, интегрируя, определим x C2 kt3 /6m.

75

Из начальных данных следует C2 0, и закон движения тела принимает вид x kt3 / 6m .

8.7.2. Сила зависит от расстояния Задача 8.6. Пренебрегая трением и сопротивлением возду-

ха, определить, в время прохождения тела по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВ каналу от его начала А до конца В (рис. 8.6). Считать, что радиус Земли R = 6370 км.

Указание. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее цен-

тру с силой F , прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Поскольку при r= R (т. е. на поверхности Земли) сила F равна силе тяжести тела G mg , получим, что внутри Земли F mgr / R, где r MC - расстояние от точки М до центра Земли.

Решение. Поместим начало отсчета О в середине хорды АВ. Тело находящееся в покое в этой точке, было бы в равновесии. Направим ось Ох вдоль линии ОА. Пусть 2а -длина хорды АВ. Движение начнется при условиях: при t 0 x a,

vx 0 .

Впроизвольном положении на тело действуют силы F и

N . Из рис. 8.6 видно, что rcos x. Тогда,

Fkx Fcos mgrcos / R mgx/ R .

Как видно, действующая сила зависит только от координаты x точки М. Для разделения переменных в дифференциальном уравнении движения, представим его в виде (8.8). Тогда,

сокращая на m и обозначая k2 g / R, получим

vx dvx k2x. dx

76

Умножением обеих частей этого равенства на dx перемен-

ные разделяются. Интегрируя, находим 0,5vx2 0,5k2x2 C1.

По начальным условиям определяем C1 0,5k2a2. Подставляя C1, получаем vx ka2 x2 .

Поскольку в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е., vx 0, берем перед корнем знак ми-

нус. Заменяя vx через x, получим

x ka2 x2 , или (a2 x2 ) 0,5dx kdt .

Интегрируя, получаем kt arccos( x/ a) C2 .

Подставляя сюда начальные данные (при t = 0 х = а), находим, что C2 0 и закон движения тела в канале принимает вид x acoskt .

Следовательно, тело в канале АВ совершает гармонические колебания с амплитудой а (см. гл. 11) относительно точки

О.

Для определения времени t1 движения тела до конца В канала подставим координату точки В хВ = - а в уравнение движения. Тогда coskt1 1, kt1 и t1 / k .

Поскольку k g / R , t1 R/ g 42 мин 11 с.

Как видно, время движения t1 по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины.

Из выражения для vx видно, что vmax vx при x= 0, т. е.

в точке О vmax ka ag / R .

8.7.3. Сила зависит от скорости

Задача 8.7. Лодке, массой m= 40 кг, толчком, сообщают начальную скорость v0 = 0,5 м/сек. Сила сопротивления воды

при малых скоростях пропорциональна первой степени модуля скорости и изменяется по закону R v, где коэффициент со-

77

противления = 91 Н/с. Определить, через какое время скорость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также путь, пройденный лодкой до потери скорости.

Решение. Совместим начало отсчета O с начальным положением лодки и направим ось Ох в сторону движения (рис.

8.7). Тогда начальные условия

примут вид: при t =0 х= 0, vx v0 . Чтобы правильно определять, какие силы действительно действуют на тело при ее движении, на-

Рис. 8.7 до помнить, что силы есть результаты взаимодействия данного тела с другими телами. Если никакие другие тела на лодку при ее

движении не действуют, значит, никаких других действующих сил нет. В данном случае на лодку действует сила тяжести mg , вызванная действием на лодку Земли. Вода действует на

лодку с силой сопротивления R и выталкивающей силой N , являющейся вертикальной силой реакции воды. Сила, толкнувшая лодку, действовала на лодку до момента t= 0. Результат этого действия учитывается заданием начальной скорости v0 , которую сила сообщила лодке за время толчка. Поэтому

эту силу при рассмотрении движения лодки учитывать не нужно.

Проекция равнодействующий силы на направление скоро-

сти

Fkx R v.

Поскольку в данном случае vx v, получим, дифференци-

альное уравнение (8.7) имеет вид

С учетом начальных условий при t = 0 v v0.

Левая часть интегрируется по v, а правая - по t. Тогда

78

Искомое время t1, определим, положив v 0,5v0 . Это время, очевидно, не зависит от величины v0 . Так как ln2=

0,693, то t1 (m/ )ln2 3 с.

Для определения пройденного пути целесообразнее использовать дифференциальное уравнение движения в виде (8.8), так как это уравнение позволяет сразу установить зависимость между x и v. Тогда

mv dv v . dx

Отсюда, сокращая на v 0 , разделяя переменные, и учитывая, что при х = 0 v v0, получим

t . Это означает, что при принятом линейном законе сопротивления R kt лодка будет к своей конечной координате x2 , приближаться асимптотически вдоль оси времени. Очевидно, что в действительности время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон R(t ) может измениться.

79