Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Соотношение (9.5) выражает теорему об изменении импульса точки в конечном (интегральном) виде: изменение импульса точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Для вычислений вместо векторного уравнения (9.5) часто пользуются уравнениями в проекциях на оси координат

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений.

9.4. Работа силы. Мощность Для оценки действия силы на перемещающееся тело, кро-

ме импульса силы используется работа силы. Работа характе90

ризует ту часть действия силы, которая определяет изменение модуля скорости движущейся точки.

Элементарной работой силы F на бесконечно малом перемещении dr точки ее приложения к телу называется скалярная величина

где F проекция силы F на касательную к траектории в точке приложения силы, направленную в сторону перемещения точки, a dr - бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Такое определение соответствует понятию о работе, как о характеристике действия силы, приводящего к изменению модуля скорости точки. Действи-

будет только составляющая F ,

сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же

Fn или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном движе-

нии, действует на связь. В любом из этих случаев Fn на мо-

дуль скорости не влияет, т. е. сила Fn работу не производит.

Следовательно, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение dr (9.7) или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение модуля dr и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (9.8).

91

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при 0 элементарная работа dA Fdr .

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при 1800 элементарная работа dA Fdr .

Если угол 900 , т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда касательная составляющая

тельна, когда касательная составляющая силы направлена противоположно движению, т. е. когда сила замедляет движение тела.

Скалярным произведением двух векторов a и b называется скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. ab ab cos . Скалярное произведение можно выразить через проекции пе-

ремножаемых векторов на оси прямоугольной системы коор-

динат: a b axbx ayby azbz .

Как известно из кинематики, вектор элементарного перемещения точки dr vdt . Если использовать понятие о скалярном произведении двух векторов, то (9.8) примет вид

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Для определения элементарной работы силу F расклады-

вают на составляющие (рис. 9.3) Fx ,Fy , Fz по координатным осям. Элементарное перемещение MM' dr слагается из пе92

ремещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где х, у, z - координаты точки М. Поэтому (9.9) принимает вид

Работа силы при конечном перемещении из точки Mo в

точку M1 определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ

Так может быть при постоянных модуле и направлении

действующей силы ( F = const), при прямолинейном движении

1 Н*м).

Для решения основной задачи динамики важно выделить те силы, работу которых можно определить заранее, не зная

93

закона движения точки, на которую действует сила. Из формулы (9.12) видно, что такими могут быть только постоянные силы или силы, зависящие от положения (координат) движущейся точки.

Для определения работы силы, зависящей от времени или скорости движения точки, надо дополнительно знать закон движения точки, т. е. координаты x, у, z, как функции времени. Тогда все переменные можно выразить через время t и определить интеграл (9.12). Не зная закона движения точки, или не решив предварительно основную задачу динамики, работу таких сил определить нельзя.

щая F силы F зависит от положения точки на траектории, то есть от естественной координаты , и известен график F ( )

(рис. 9.5), то работу силы F можно определить графически. Пусть положению М0 соответствует координата 0 , а положе-

нию М1 - 1 . Тогда по формуле (9.11), учитывая геометрический смысл интеграла, получим

s1

AM0M1 F d ,

s0

где - величина заштрихованной площади, умноженной на масштабный коэффициент.

9.4.2. Мощность Мощностью называется величина, определяющая работу,

силы в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

W A/ t1,

где t1 - время, в течение которого произведена работа А. 94