Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Вобщем случае, когда направления силы и скорости точки

ееприложения к телу не совпадают

W dA F dr F v F v . dt dt

Следовательно, мощность равна скалярному произведению составляющей силы вдоль касательной к траектории точки на скорость движения точки приложения силы.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (1 Вт = 1 Дж/с). В технических документах еще встречается единица мощности - 1 лошадиная сила, равная 736 Вт.

Работу, произведенную машиной, потребляющей постоянную мощность, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Поэтому часто применяется единица измерения работы киловатт - час (1 квт-ч = 3,6*106 Дж).

Из равенства W F v видно, что у двигателя, имеющего данную мощность W, сила тяги F

будет тем больше, чем меньше скорость движения v . Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью, но развивать большую силу тяги.

9.5.Примеры вычисления работы

Врассмотренных ниже примерах получены формулы, которыми можно и удобно пользоваться при решении задач.

9.5.1. Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести G mg , перемещается из положения

M1 z1

AM0M1 mg dz mg dz mg z0 z1 .

M0 z0

Если точка М0 выше М1, то z0 z1 h, где h - вертикаль-

ное перемещение точки: если же точка М0 ниже точки М1, то z0 z1 z1 z0 h.

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому с обратным знаком произведению модуля силы тяжести на проекцию перемещения точки на вертикально вверх направленную ось. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, в противном случае.

Полученный результат означает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, имеющие такие свойства, назы-

ваются потенциальными.

9.5.2. Работа силы упругости

Пусть легкая пружина, висящая на неподвижной опоре (рис. 9.7) имеет в недеформированном состоянии

Рис. 9.7 длину l0 и начало отсчета координаты х расположено в конце недеформированной пружины. Если повесить на пружину груз, то пружина примет длину l, и на груз

будет действовать сила упругости пружины F , направленная к точке подвеса. По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины l l l0 . Так как в данном случае l x , то

F c l c x .

96

Коэффициент с называют коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в Н/м. Коэффициент с численно равным силе, которую надо приложить к пружине, чтобы увеличить ее длину на 1 м.

Пусть груз переместился из положения М0 (х0) в положение М1(х1). Так как в этом перемещении Fx F cx,

Fy Fz 0, то, после согласно (9.12) работа силой упругости

Этот же результат можно получить по графику зависимости F( x), определяя площадь заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы. В полученной формуле х0 и х1- это начальное lнач и конечное lкон удлинения пружины.

Следовательно,

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начальной и конечной деформаций пружины.

Работа будет положительной, когда lнач lкон , т. е. ко-

гда длина растянутой пружины уменьшается, и отрицательной, когда lнач lкон , т. е. когда длина сжатой пружины увели-

чивается. Оба этих процесса при возвращении пружины к недеформированному состоянию.

Можно доказать, что формула (9.15) верна и в случаях непрямолинейного перемещение точки М. Таким образом, работа

силы F зависит только от величин lнач и lкон и не зависит

от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

97

9.5.3. Работа силы трения Пусть точка движется по шероховатой поверхности. В со-

ответствии с законом Кулона для трения, модуль действующей на точку силы трения равен fN, где f –

коэффициент трения, а N – нормальная реакция поверхности.

До начала движения сила трения направлена противоположно направлению силы, сдвигающей точку. После начала движения сила трения направлена противоположно направлению скорости перемещению точки. Следовательно, FT fN и согласно (9.11)

Если модуль силы трения постоянен, то AM0M1 FT s,

где s - длина дуги кривой M0M1, по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги M0M1, соединяющей точки M0 и M1. Следовательно, сила трения не является потенциальной силой.

9.5.4. Работа силы тяготения Если планету Земля рассматривать как однородный шар

(или шар, состоящий из однородных концентричных слоев), то на точку М с массы m, находящуюся вне шара или на его поверхности (рис. 9.9), будет действовать сила притяжения (тя-

готения) F , направленная к центру О шара и изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния r от точки М

до центра О:F km/ r2 .

Коэффициент пропорциональности k можно определить из того условия, что, когда точка находится на поверхности Зем-

98

ли (r = R, где R - радиус Земли), сила притяжения равна mg, где g - ускорение силы тяжести на земной поверхности. Тогда mg km / R2 и k gR2 .

Как видно из рис. 9.9, элементарное перемещение MM'

точки М можно разложить на перемещение Ma, равное при-

ращению dr вектор - радиуса OM r и направленное вдоль

ОМ, и на перемещение Mb, перпендикулярное к ОМ, а следо-

вательно, и к силе F . Поскольку на втором перемещении ра-

бота силы F равна нулю, а перемещение Ma направлено противоположно силе,

Пусть точка перемещается из положения М0, для которого r r0 , в положение M1 где r r1. Тогда

перемещается точка М. Следовательно, сила тяготения является потенциальной силой.

При определении работы силы тяготения на больших перемещениях следует учитывать зависимость этой силы от расстояния от центра Земли.

99