Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
Наоборот, зная начальную кинетическую энергию тела
T0 0,5mv02 и силу F , можно было бы из равенства (в) опре-
делить тормозной путь s1 , но время торможения t1 осталось бы неопределенным. На эти особенности указывалось в 9.1.
Рис. 9.12
Задача 9.3. Величина равнодействующей R всех сил, действующих на поршень, зависит от времени по закону R 0,4mg 1 kt , где m - масса поршня, t - время в секундах, a k - коэффициент, равный 1,6 1/с, определить скорость поршня в момент t1 0,5 с, если в момент t0 0 его скорость была
равна v0 0,2 м/с.
Решение. Так как действующая на поршень сила зависит от времени, а в число данных и искомых величин входят t1,v0
и v1 воспользуемся для решения задачи уравнением (9.6)
mv1x mv0x px . (а)
В данном случае
t1 t1
px Rxdt 0,4mg 1 kt dt 0,4mgt1 1 0,5kt1 .
0 0
Рис. 9.13
лью образует угол
Кроме того, v0x v0 , v1x v1 . Подставляя все эти выражения в (а), получим
v1 v0 0,4gt1 1 0,5kt1 1,4.
Задача 9.4. Груз (рис. 9.13), подвешенный на нити длиной l, отклоняют от вертикали на угол 0 и отпускают без
начальной скорости. Найти скорость груза в момент, когда нить с вертика-
.
105
Решение. Так как в условия задачи входят: перемещение груза, определяемое углом поворота нити, и скорости v0 и v1
воспользуемся для решения теоремой об изменении кинетической энергии
0,5(mv12 mv02 ) AM0M1 .
На груз действуют сила тяжести G и реакция нити N . Ра-
бота силы N равна нулю, так как |
N 0. Для силы G по |
|||
формуле (9.14) находим |
A P Gh mgh. Так как v0 |
0, по- |
||
лучаем 0,5mv2 mgh, откуда, v |
|
. |
|
|
2gh |
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
Это - известная формула Галилея. Очевидно, такой же результат получится для скорости v свободно падающего груза с высоты h .
В рассматриваемой задаче h lcos lcos 0 и v1 
2gl cos cos 0 .
Задача 9.5. Пружина клапана (рис. 9.14) имеет в свободном состоянии длину l0 6 см.
При полностью открытом клапане длина пружины l 4 см, а высота подъема клапана s = 0,6 см. Жесткость пружины с = 1 H/см, масса клапана m = 0,4 кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определить скорость
Рис. 9.14 клапана в момент его закрытия.
Решение. Действующая на клапан сила упругости F зависит от расстояния; кроме того, задано перемещение s клапана. Поэтому для решения задачи удобно использовать уравнение
(12.18)
0,5(mv12 mv02 ) AM0M1 .
По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тогда, согласно (9.15),
AM0M1 0,5c lнач 2 lкон 2 . 106
В данном случае
lнач l0 l 2 см, lкон l0 l s 1,4 см.
Подставляя v0 0 и все эти значения в (9.18), получим
v1 
c lнач 2 lкон 2 0,22 м/с. m
Задача 9.6. Под действием груза, лежащего на середине упругой балки (рис. 12.15), балка прогибается на величину ст
(статический прогиб балки). Пренебрегая силой тяжести балки, определить ее максимальный прогиб m , если груз упадет
на балку с высоты Н из состояния покоя.
Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения уравнением (9.18). В данном случае начальная скорость груза v0 и конечная его скоростьv1 (в момент макси-
мального прогиба балки) равны нулю и формула (9.18) принимает вид
|
|
|
|
Ak |
0. |
(а) |
|
Работу здесь совершают сила тяжести G на перемещении |
|||||
M0M1 |
и сила |
упругости |
балки |
|
||
F |
на перемещении |
|
. При |
|
||
MM1 |
|
|||||
этом |
A(G)) = G |
(H + |
m ), |
|
||
A F 0,5c m2 , так как для бал- |
|
|||||
ки |
lнач 0, |
lкон |
m . |
Под- |
|
|
ставляя эти величины в (а), по- |
Рис. 9.15 |
|||||
лучим G H m 0,5c m2 0. |
||||||
|
Поскольку при равновесии сила тяжести груза уравнове- |
|||||
шивается силой упругости, G c ст . |
Тогда предыдущее ра- |
|||||
венство можно представить в виде |
|
|||||
|
|
|
m2 2 ст m 2 стH 0 . |
|||
|
|
|
|
|
107 |
|
Решая это квадратное уравнение, и учитывая, что по условиям задачи должно быть m 0, находим
m ст 
ст2 2H ст .
Важно отметить, что при H= 0 получается m 2 ст . Сле-
довательно, если груз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогиб под действием отпущенного груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем балка с грузом начнет совершать колебания около положения равновесия. Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система окажется равновесии в положении, когда прогиб бал-
ки будет равен ст .
|
Задача 9.7. Определить, какую наи- |
|
меньшую направленную вертикально вверх |
Рис. 9.16 |
начальную скорость v0 надо сообщить телу |
|
массы m, чтобы оно поднялось с поверхно- |
сти Земли на заданную высоту Н. Cила притяжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли (рис. 9.16). Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, считая тело материальной точкой. Тогда
0,5(mv2 |
mv2 |
) A |
|
. |
(а) |
1 |
0 |
M0M1 |
|
|
Поместим начало координат в центре О Земли (центр притяжения) и направим ось Ох в сторону движения. Изобразим в произвольном положении точку М и действующую на нее силу
F . По условиям задачи F km / x2 .
Коэффициент пропорциональности k находится из условия, что на поверхности Земли, т. е. при x= R (R - радиус Земли), сила притяжения равна mg (g - ускорение силы тяжести на
земной поверхности). Отсюда mg kmR 2 и k gR2 . 108
|
Поскольку |
F |
F km/ x2, F |
y |
F |
0, по фор- |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
z |
|
||
муле (9.12) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
R H |
|
||||
|
|
AM0M1 |
km / x2 |
dx km x 2dx, |
|||||||||
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
kmH |
|
|
|
|
или |
AM0M1 |
km |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
R |
|
|
|
R R H |
|
|
|||||||
|
|
|
H R |
|
|
|
|
||||||
Этот же результат можно получить сразу по формуле (9.17), если учесть, что в данном случае r0 R, а r1 R H .
Поскольку в наивысшем положении M1 , скорость точки v1 0, подставляя в (а) величины работы и k, получим
v0 
2gRH /( R H ).
Рассмотрим частные случаи.
а) Пусть H очень мало в сравнении с R. Тогда H/R - величина, близкая к нулю. Деля числитель и знаменатель на R, по-
лучим v0 
2gH /(1 H / R) 
2gH .
Следовательно, для малых Н получается формула Галилея. б) Определим начальную скорость, при которой брошенное тело уйдет в бесконечность. Деля числитель и знаменатель
на Н, получим v0 |
2gR /(1 R / H ) . |
||
При H и среднем радиусе Земли R= 6370 км |
|||
|
v0 |
2Rg |
11,2 км/с. |
Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью 11,2 км/сек, навсегда покинет поле земного тяготения.
Можно показать, что при начальных скоростях, лежащих приблизительно в пределах 8 км/с v0 11 км/с, тело, бро-
шенное по направлению касательной к земной поверхности, не упадет обратно на Землю, а превратится в земной спутник. При начальных скоростях, меньших 8 км/с, или при негоризонтальном бросании тело, описав эллиптическую траекторию,
109