Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

рость v точки и силу притяжения F как функции вектора - радиуса r.

9.9.10.Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила F = 250 Н. Тяга образует со скоростью угол = 32°. Определить работу, совершенную силой F на пути s = 200 м.

9.9.11.Тело массой m = 2 кг передвигают по горизон-

тальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние s = 6 м. Определить работу, которую совершит при этом сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела

иполом f = 0,35.

9.9.12.Найти работу силы

тяжести при перемещении мате-

M( x,y,z ), а также вычислить по-

Рис. 9.22

тенциальную энергию точки в положении М (рис. 9.22). 9.9.13. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении этого груза из положения M0 , для которого деформация пружи-

ны равна x0 , в положение M , для которого деформация пру-

жины равна x , если длина недеформированного стержня равна l0 ; вычислить также потенциальную энергию точки в по-

ложении M .

115

9.9.14. На материальную точку действует сила, проекции которой на координатные оси определяются выражениями

X 2x y ; Y x z2; Z 2yz 1;

Определить работу этой силы при перемещении точки из положения M0 (1; 2; 3) в положение M1 (2; 3; 4), если сила выражена в Н, а координаты - в см.

9.9.15.Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. F f(r ).

9.9.16.Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик. Длина нерастяну-

той пружины -l0 , жесткость ее c. Шарик перемещают из по-

ложения M1 в положение M2 , причем пружина растягивается, поворачивается, но не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если OM1 r1 и OM2 r2 .

9.9.17. Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Найти работу трения качения при перемещении центра колеса O на расстояние s, если вертикаль-

ная нагрузка на ось колеса равна P и коэффициент трения качения равен fk .

9.9.18. К валу длиною l, один конец которого закреплен жестко, приложен на свободном конце момент, который вызывает в вале деформации кручения. Определить работу возникающих при этом сил упругости, если суммарный момент упругих сил пропорционален углу закручивания; причем коэффициент пропорциональности (коэффициент жесткости вала на кручение) равен c. Определить также потенциальную энер-

гию этого вала в зависи-

ленты привод А конвейера установлен на катки и включен динамометр D между приводом и неподвижной стойкой С. Определить силы натяжения T1, и T2 , если показание динамометра равно P (в ньютонах), диаметр приводного барабана d , потребляемая электродвигателем привода мощность равна N

иприводной барабан делает n оборотов в минуту (рис. 9.23).

9.9.20.Найти мощность машины, поднимающей 100 раз в минуту молот массой m = 1000 кг на высоту h 0,6 м, если коэффициент полезного действия = 0,8.

9.9.21.Вагонетка движется самокатом вниз по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Определить скорость вагонетки в конце пути, длина которого, равна l; на-

чальная скорость вагонетки v0 = 0, коэффициент общего со-

противления движению f .

9.9.22. Телу массой m , лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают начальную горизонтальную скорость v0 .

Определить время, пройденное телом до остановки, и расстояние, пройденное телом, если коэффициент трения тела о плоскость равен f ?

9.9.23. Клеть массой m опускается на канате равномерно со скоростью v0 . Определить наибольшее удлинение каната после защемления его верхнего конца, если его статическое удлинение под действием веса клети равно * .

9.9.24. В момент, когда скорость моторного судна равна v0 выключается мотор. Сила сопротивления воды определяет-

ся по эмпирической формуле: R av bv2, где a и b - постоянные. Масса судна равна m . Найти расстояние, которое пройдет судно с момента выключения мотора до остановки.

9.9.25. Материальная точка массы m , получив начальную скорость v0 движется по горизонтальной, абсолютно гладкой плоскости, испытывая сопротивление среды, опреде-

ляемое формулой R kmv , где v - скорость точки. Найти

117

закон движения точки.

9.9.26. Определить для данного момента времени высоту h подъема тела М, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью v0 , если в этот момент известен угол ,

образуемый скоростью v с горизонтальной осью x . Сопротивлением воздуха пренебречь.

9.9.27. Материальная частица массы m = 90 г, находящаяся в поле силы тяжести, отталкивается от неподвижного центра О силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния частицы от этого центра. В начальный момент времени частица находится в положении M0 (x0 =1 см; y0 = z0 = 2

см) и имеет скорость v0 = 285 см/с, направленную так, что при дальнейшем движении частица проходит через точку M1

( x1 =2 см; y1 = z1 = 4 см). Опре-

делить скорость частицы в точке M1, если известно, что величина отталкивающей силы в момент, когда частица находится в поло-

жении M0 равна 0,03 Н.

Рис. 9.24

9.9.28. Автомобиль массой m , имеющий в положении M1, скоростью v1, (рис. 9.24), начинает с этого положения движение самокатом и в положении M2 приобретает скорость v2. Определить суммарную работу сопротивлений движению автомобиля на участке M1M2, а также среднюю величину приведенной к центру тяжести автомобиля силы сопротивления движению. Высоты H1 и H2 даны в метрах.

118

Глава 10. НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

10.1. Уравнения движения точки по заданной неподвижной кривой

Несвободным движением материальной точки или движением, подчиненным связям, называется движение, сопровождающееся постоянным взаимодействием тела с некоторыми связями.

Некоторые задачи несвободного движения можно решать с помощью общих теорем

Рис. 10.1

динамики. Рассмотрим другой метод реше-

ния этих задач, применимый при любых действующих силах и позволяющий одновременно находить и закон движения точки, и реакции связей.

Пусть материальная точка движется по заданной гладкой

неподвижной кривой под действием активных сил F1a,F2a, ...,

Fna. Определим положение движущейся точки М криволиней-

ной координатой с началом отсчета в точке О (рис. 10.1).

Если, отбросив связь и заменить ее действие реакцией N , то основной закон динамики примет вид

ну положительного отсчета , Mn - главная нормаль, направленная к центру кривизны кривой в точке M , а Mb - ось, перпендикулярная к ним, называемая бинормалью. Спроецируем обе части равенства (10.1) на эти оси. Так как кривая гладкая,

то реакция N перпендикулярна к кривой, т. е. расположена в

плоскости Mbn и, следовательно, N = 0. Тогда