Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

ную нити, надо сообщить грузу, чтобы он описал полную окружность?

В положении М на груз действуют сила тяжести G и сила натяжения нити T . Уравнение (10.3) в проекциях на внутрен-

где v - скорость груза в положении М.

В данном случае работу совершает сила тяжести. По теореме об изменении кинетической энергии

0,5mv2 0,5mv02 A(aM0M1 ) = Gh 2Gl(1 cos ).

Следовательно, mv2 mv02 2Gl(1 cos ).

Из (а) следует T mg(3cos 2 v02 / gl ).

Минимум T будет при = 180

Tmin mg( 5 v02 / gl ).

125

mv02 mg2l . Тогда v0min 2gl .

10.3.Уравнения относительного движения

ипокоя точки

Законы динамики и полученные из них в предыдущих уравнения и теоремы верны только для абсолютного движения точки, т. е. движения относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета.

В этой главе рассмотрено относительное движение точки, т. е. движение относительно неинерциальной, произвольно движущейся системы отсчета.

Пусть материальная точка М движется под действием при-

ложенных к ней сил F1, F2 , ..., Fn относительно системы Oxyz

(рис. 10.6), которая по известному закону движется относительно неподвижной системы Ox1y1z1.

Для определения зависимости между относительным ус-

корением точки ar и действующими на нее силами используем основной закон динамики для абсолютного движения

126

По теореме Кориолиса a ae ar ak , где ar , ae и ak -

относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.

Тогда mar m(a ae ak ) Fk ( mae ) ( mak ).

Пусть Fie mae , Fik mak . Величины mae и mak по размерности являются силами. Их называют соответственно переносной и кориолисовой силами инерции, Тогда предыдущее уравнение примет вид

Это уравнение выражает основной закон динамики для относительного движения точки. Из сравнения (10.4) и (10.5),

следует, что: все уравнения механики относительного движения точки можно составлять так же, как и уравнения абсолютного движения, прибавляя к действующим на точку силам

пeреносную и кориолисову силы инерции. Добавление сил Fie и

Fik , позволяет учесть влияние движения подвижной системы отсчета на относительное движение точки.

Возможны следующие частные случаи.

1. Подвижные оси движутся поступательно. Так как в этом случае вращение подвижной системы отсутствует и угловая скорость вращения подвижной системы Oxyz 0 , то Fik = 0,

и уравнение относительного движения принимает вид mar Fk Fie .

2. Если подвижные оси перемещаются поступательно,

равномерно и прямолинейно, то Fie = 0, Fik = 0 и закон относительного движения будет иметь такой же вид, как и закон движения относительно неподвижной системы. Поэтому такая система отсчета также будет инерциальной.

Следовательно, либо существует бесконечно много инерциальных систем отсчета, либо не существует ни одной.

Из полученного результата вытекает, что никакими меха-

ническими экспериментами нельзя обнаружить, находится ли

127

данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение. В этом со-

стоит принцип относительности классической механики, сформулированный еще Галилеем.

3. Если точка относительно подвижной системы находится в покое, то для нее ar 0 , vr 0, а следовательно и Fik = 0,

так как кориолисово ускорение ak 2( e vr ). Тогда (10.5) принимает вид

Это уравнение относительного равновесия (покоя) точки.

Из него следует, что уравнения относительного равновесия можно составлять тaк же, как и уравнения равновесия в неподвижной системе координат, добавляя к действующим на точку силам переносную силу инерции.

4. При составлении уравнений относительного движения в

случаях, когда Fik 0 , надо учитывать, что

Fik mak 2m( e vr )

и, следовательно, сила Fik перпендикулярна к vr , а значит, и к касательной к относительной траектории точки. Поэтому:

б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительном перемещении равна нулю (см. 9.4, формула (9.10)), и

теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении примет вид

где - v1r и v0r относительные скорости.

128

Во все остальные уравнения относительного движения будут в общем случае входить и переносная, и кориолисова силы инерции.

Задача 10.6. Считая массы всех вращающихся частей центробежного регулятора (рис. 10.7) малыми в сравнении с массами шаров В и D, найти угол при котором стержень АВ длиной l, окажется в относитель-

ном равновесии, если регулятор вращается с постоянной угловой скоростью .

Решение. Для определения положения относительного равновесия (относительно вращающейся вместе с регулятором системы отсчета) прикладываем к действую-

Тогда Fie ml 2 sin . Сила Fie направлена противоположно ускорению ane , т. е. вдоль линии СВ. Урав-

нение равновесия в проекции на ось B , перпендикулярную к АВ, имеет вид

-G sin Fiecos 0.