Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
ли он будет двигаться вниз без начальной скорости по прямолинейному участку пути с углом наклона
.
10.5.3.Материальная точка массой m= 0,2 кг, лежащая на горизонтальной поверхности стола, привязана к неподвижной точке О нитью длиной l = 35 см. Точке со-
общена начальная скорость v0 = 4,9
Рис. 10.13
м/с, перпендикулярная к направлению натянутой нити, вследствие
чего точка описывает на столе окружность. Найти скорость точки и, силу натяжения нити через 1 с после начала движения, если коэффициент трения f = 0,25.
10.5.4. Материальная точка М движется по гладкой наклонной плоскости с углом наклона под действием собственной силы тяжести mg ; ее начальная
горизонтальная скорость v0 перпендику-
лярна к линии наибольшего ската этой плоскости. Определить закон движения этой точки и ее траекторию, а также реак-
цию наклонной плоскости (рис. 10.13). |
Рис. 10.14 |
10.5.5. Тяжелая материальная час- |
тица массы m движется по внутренней поверхности шерохо-
|
ватого круглого цилиндра x2 y2 R2 . |
|
|
Коэффициент трения между частицей и |
|
|
цилиндром равен k . В начальный мо- |
|
|
мент частица находится на оси Ох и по- |
|
Рис. 10.15 |
лучает скорость v0 перпендикулярную к |
|
оси Ох и составляющую с плоскостью |
||
|
хОу угол . Составить дифференциальные уравнения движения частицы и определить ее давление на связь. Проинтегри-
135
ровать полученные уравнения в случае гладкой поверхности
(k = 0) (рис. 10.14).
10.5.6. Тело массой m движется прямолинейно с данным ускорением a по горизонтальной плоскости под дей-
Рис. 10.16
Рис. 10.17
ствием некоторой силы F , образующей с горизонтом угол . Определить модуль этой силы, если коэффициент трения между передвигаемым телом и плоскостью равен f (рис. 10.15).
10.5.7. Полая сферическая поверхность радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг своей вертикально расположенной оси симметрии, делая 30 об/мин. Внутри этой поверхности находится шарик массой m = 200 г. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика относительно нижней точки этой поверхности и ее реак-
цию N в этом положении (рис. 10.16).
10.5.8.Лента ленточного конвейера наклонена к горизонту под углом . Определить минимальную скорость ленты, при которой переносимая лентой частица руды отделится от поверхности ленты в месте набегания ленты на барабан, если радиус барабана равен R (рис. 10.17).
10.5.9.Математический маятник длиной l и массой m
отвели на угол 0 от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v0 , на-
правленную перпендикулярно к нити вверх. Найти натяжение нити маятника в зависимости от угла , образованного нитью с верти-
калью (рис. 10.18).
Рис. 10.18
136
10.5.10. Материальная частица находится внутри неподвижного цилиндра радиусом R . В начальный момент времени частица находится в положении M0 и получает верти-
кальную скорость v0 . Коэффициент трения частицы о поверхность цилиндра равен f . Пренебрегая действием силы тяжести, найти зависимость между скоростью v частицы и
углом , определяющим ее положение внутри цилиндра (рис. 10.19).
137
Глава 11. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
11.1. Свободные колебания без учета сил сопротивления
Одному ученому принадлежит фраза: «Колебания - это единственная форма постоянства, доступная природе». Это означает, что не может быть ничего постоянного, постоянны только процессы изменений.
Механическими колебаниями называется всякий механический процесс периодического изменения положения тела.
Колебания составляет основу многих явлений, изучаемых физикой и техникой. Колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, но, основные законы этих колебаний во всех случаях одинаковы. Поэтому изучение механических колебаний важно не только потому, что такие колебания очень часто происходят, но и потому, что законы, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения колебательных явлений в различных областях естествознания и техники.
Рассмотрим свободные прямолинейные колебания точки М массой т без учета сил сопротивления под действием только одной восстанавливаю-
щей силы F , направленной к неподвижно-
му центру 0 и пропорциональной расстоя-
Рис. 11.1
нию от этого центра. Проекция силы F на ось Ох (рис. 11.1) равна
Fx cx. |
(11.1) |
Сила F , как видно из (11.1), всегда направлена противоположно смещению x от центра О, то есть стремится вернуть
точку в положение равновесия О, где F 0 . По этой причине
138
и используется термин «восстанавливающая» сила. Примером такой силы является сила упругости пружины.
Колебательной системой называется система тел, которая включает колеблющееся тело, тела, создающие восстанавливающую силу и другие тела.
Закон движения точки М определяется из решения дифференциального, уравнения движения точки
|
d2x |
|
|
|
|
|
|
|
m dt2 |
|
|
|
|
||||
vx cx, |
|
|||||||
где t - время. |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
|
|
. |
(11.2) |
||
|
|
|
c / m |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
x 0. |
(11.3) |
|||
|
x k |
|
|
|||||
Уравнение (11.3) является дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки при отсутствии сил сопротивления. Решение этого линейного, однородного дифференциального уравнения второго порядка ищется в виде
x ent , где n характеристика колеблющейся системы.
Полагая в уравнении (11.3) x ent , получим для определения n характеристическое уравнение
n2 1 0.
Поскольку это уравнение имеет мнимые корни n1,2 ik ,
то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (11.3) имеет вид
x C1 sinkt C2 coskt, |
(11.4) |
где C1 и C2 - постоянные интегрирования.
Если вместо C1 и C2 ввести постоянные, а и , такие, что
C1 acos и |
C2 asin , то x a(sinktcos |
coskt sin ) |
или |
x a sin(kt ) . |
(11.5) |
|
Этому решению удобнее придавать физический смысл.
139