Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания, совершаемые точкой по закону (11.5), называются гармоническими колебаниями.

График таких колебаний при / 2 - показан на рис. 11.2.

Проекции на ось х скорости точки


	vx		dx	ak cos(kt ) . (11.6)

			dt
	Всем характеристикам этого движе-
	ния можно дать наглядную физическую
	интерпретацию.
	Пусть точка В движется равномерно
	по окружности радиуса а из положения
	B0 , определяемого углом DOB0 (рис.
	11.3) с угловой скоростью = k. Тогда в
	произвольный		момент времени			t угол
	DOB kt. Очевидно, что проек-
	ция М точки В на прямую, перпендику-
	лярную	DE,	изменяется		по	закону
	x a sin(kt ) , т. е. совершает					гармо-
Рис. 11.2	нические колебания.
	Точка	О,	относительно		которой от-

считываются отклонения точки В, называется центром колебаний.

Величина а, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний.

Величина kt называется фазой колебаний. Фаза , в отличие от координаты х, определяет не только положение точки в данный момент, но и направление ее движения. Например, из положения М при фазе, равной - точка В движется вправо, а при фазе, равной , - влево. Фазы, отличающиеся на 2 , считаются одинаковыми (на рис. 11.2 светлыми точками отмечены одинаковые фазы).

Величина определяет фазу в начале колебаний и называется начальной фазой.

140

Например, при 0 колебания происходят по закону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при / 2 - по закону косинуса (начинаются из положения х= а со скоростью v0 0 ).

	Величина k , совпадающая с угловой
	скоростью вращения радиуса ОВ, пока-
	занного на рис. 14.3, называется круго-
	вой частотой колебаний.
	Промежуток времени Т, в течение
	которого точка совершает одно полное
	колебание, называется периодом колеба-
	ний.
Рис. 11.3	По истечении периода фаза изменя-
	ется на 2 . Следовательно, kT= 2 и
	T 2 / k .	(11.7)

Величина , обратная периоду колебаний и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называ-

Отсюда видно, что величина k отличается от только постоянным множителем 2 .

Величины а и определяются по начальным условиям.


Считая, что при t 0		x x0 , и	vx v0 , получим из (11.5) и
(11.6) x0 asina ,	v0 /k acos .		Отсюда, складывая сначала

квадраты этих равенств, а затем, деля их левые и правые части друг на друга, получим

a x2	v2	/k2	, tg kx	o	/ v	o	.	(11.9)
0	0			o		o

Свободные колебания при отсутствии сопротивления имеют следующие свойства:

1)амплитуда и начальная фаза колебаний зависят только от начальных условий;

2)круговая частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят, (см. равенства (11.2) и

141

(11.7)) и являются постоянными характеристиками данной колебательной системы.

Отсюда следует, что для определения только периода или частоты колебаний, надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (11.3). После этого период можно определить по (11.7) без интегрирования дифференциального уравнения колебаний системы.

11.1.1. Влияние постоянной силы на свободные колебания точки

Пусть на точку М, кроме восстанавливающей силы F , направленной к центру колебаний О, действует еще постоянная по модулю и направлению сила

				P (рис.	11.4). Пусть величина силы
				F пропорциональна расстоянию от
				центра О, т. е. F c0M .		Очевидно,
				что в этом случае положением рав-
Рис. 11.4				новесия точки М будет		центр O1,
				отстоящий от точки О на расстоянии
OO1 0	, которое определяется равенством c 0 P или
				0 P / c .		(11.10)
Величину 0			называют статическим отклонением точки.
Примем центр O1				за начало отсчета х и направим коорди-
натную	ось	O1x в		сторону	действия силы	Р. Тогда
Fx c( x 0 ),			Px P . Составляя дифференциальное урав-
нение движения (14.2) и учитывая, что c 0 P, получим
			mx cx или x k2x 0.
Здесь k		определяется по (11.2). Полученное				уравнение

совпадает с уравнением (11.3). Следовательно, постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает

142

центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения 0 .

Выразим период колебаний через 0 . Из (11.10) и (11.2)

имеем k2 c / m P/m 0 . Тогда из (11.7) следует
T / k	m 0 / P .	(11.11)

Таким образом, период колебаний пропорционален корню квадратному из статического отклонения 0 .

При колебаниях груза на вертикальной пружине (см. рис. 11.5), силой Р является сила тяжести. Тогда, формула (11.11)

примет вид
T	0	/ g .	(11.11’)

Задача 11.1. Груз подвешивают к концу В вертикальной пружины АВ и отпускают без начальной скорости. Определить закон колебаний груза, если в равновесном положении растяжение пружины равно 0 - статическому удлине-

нию пружины.

Решение. Пусть груз можно считать материальной точкой, начало координат O совпадает с центром масс груза, находящегося в положении статического равновесия, а ось Ох направлена по вертикали вниз (рис. 11.5). Сила упругости F c l , где l - растяжение пружины.

Рис. 11.5	В данном случае l 0 x. Поэтому,
Fx	-c( 0 x).

Дифференциальное уравнение движения груза mx -c( 0 x) G .

По условиям задачи сила тяжести G mg F , поскольку в положении равновесия груз удерживается силой упругости пружины. Введя обозначение c/m g/ 0 k2 , получаем

x k2x 0 .

143

Рис. 11.6

Период колебаний груза

T 2 /k 2 0 / g .

Следовательно, период колебаний пропорционален корню


квадратному из статического	удлинения пружины.
Решением полученного	дифференциального		уравнения
является функция x C1 sinkt C2 coskt .
По начальным условиям при t = 0		x 0 , vx	0	=0. Так
как vx dx / dt kC1 coskt kC2 sinkt ,		то подставляя		началь-

ные условия, получим C1 0 , C2 0 . Следовательно, коле-

бания происходят с амплитудой 0 по закону x 0 coskt .

Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при колебаниях груза равно 2 0 . Этот результат получается и в

том случае, когда колеблющееся тело прикреплено к какомулибо упругому телу, например к гибкой балке (см. задачу 9.6).

Рассмотренное решение подтверждает то, что постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, происходящих под действием силы упругости F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р (рис. 11.5) на величину 0 . Очевидно, что при отсутствии

силы Р колебания происходили бы, около центра В.

Задача 11.2. Определить период колебаний груза массы т, подвешенного на двух пружинах с коэффициентами жесткости c1 , и c2 ,так,

как показано на рис. 11.6, а.

Решение. Каждая из пружин в статическом положении растягивается силой Р= тg. Следовательно, статические удли-

нения пружин будут равны 01 mg / c1, 02 mg / c2 . Общее удлинение пружин

0 01 02 mg(c1 c2 )/ c1c2 .

144

ется частотой колебаний

9775
Confessio vs natio. Византийская богословская традиция как препона в формировании дискурсов этнонациональной идентичности средневековой Руси
Влияние особенностей личности на выбор профессии у подростков
Интернет-стартап. Текст доклада
Интерференция как проблема перевода: теоретический аспект
Основные подходы в развитии теории человеческого капитала
Правовые позиции Конституционного Суда РФ по вопросам защиты социально-экономических прав и свобод человека и гражданина
Профессия 'банкир': достоинства и недостатки
Рынок жилья Российской Федерации
Сравнительная характеристика пастереллеза, сибирской язвы, сальмонеллеза, и респираторных вирусных инфекций у различных сельскохозяйственных животных