Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Уравнение (11.21) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний материальной точки при отсутствии сил сопротивления. Его решение, как известно из теории дифференциальных уравнений, имеет вид x x1 x2 , где

x1 - общее решение уравнения без правой части, т.е. решение уравнения (11.3), определяемое равенством (11.5), а x2 - какое-либо частное решение полного уравнения (11.21).

Считая, p k, ищем решение x

в виде x2 Asint , где А - постоянная величина, при которой (11.21) станет тождеством. Подставляя x2 в (11.21), получим

- p2 Asin pt k2 Asin pt P0 sin pt .

Это равенство должно выполняться при любом t. Поскольку p k

Рис. 11.11

, это возможно при A(k2 - p2 ) P0 или A P0/(k2 - p2 ).

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Так как x x1 x2 , а x1 определено (11.5), то общее ре-

шение (11.21)

где а и - постоянные интегрирования, определяемые начальными данными.

150

Решение (11.22') показывает, что колебания точки складываются в этом случае из колебаний с частотой k и амплитудой а, зависящей от начальных условий, и называемых собственными колебаниями, и колебаний с частотой р и амплитудой А, не зависящей от начальных условий, которые называются вынужденными колебаниями.

Примеры различных колебаний x(t) приведены на рис. 11.11.

При действии различных сопротивлений, собственные колебания быстро затухают. Поэтому основными в рассматриваемом движении являются вынужденные колебания, происходящие по закону (11.22).

Рис. 11.12 Рис. 11.13

Как видно, частота р вынужденных колебаний, равна частоте изменения возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, разделив числитель и знаменатель на k , можно представить в виде

тоты р возмущающей силы к частоте k собственных колеба-

151

ний. График этой зависимости показан на рис. 11.12 кривой, помеченной значком h = 0 (другие кривые на графике дают зависимость А от р/k при наличии сопротивления).

Из графика или из формулы (11.23) видно, что, подбирая различные соотношения между р и k, можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При p 0 (или p k) амплитуда равна 0 , или очень близка к этой величи-

не. Если величина р близка к k , амплитуда А становится очень большой. Когда p k , амплитуда А становится очень малой, близкой к нулю.

Из сравнения формул (11.19) и (11.22) следует, что при p k , фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все время совпадают (обе равны рt) . Если же р > k, то внося минус под знак синуса, из (11.22) получаем

Следовательно, при p k сдвиг между фазами вынужденных колебаний точки и возмущающей силы равен , то есть, когда сила Q максимальна и направлена вправо, колеблющаяся точка максимально смещена влево и т. д.

11.3.1.1. Резонанс

При равенстве частоты возмущающей силы p частоте собственных колебаний k , возникает явление резонанса. Формулами (11.22), (11.23) этот случай не описывается, поскольку при p k х обращается в бесконечность при любом t 0 . Можно доказать, что амплитуды вынужденных колебаний при резонансе со временем неограниченно возрастают (рис. 11.14). Подробнее общие свойства вынужденных колебаний и, в частности, резонанса рассмотрены ниже.

152

вынужденные колебания при резонансе при отсутствии сопротивления происходят по закону:

Как видно, амплитуды вынужденных колебаний при резонансе действительно возрастают пропорционально времени. Графики x(t) этих колебаний показаны на рис. 11.14. Сдвиг фаз при резонансе равен / 2 .

11.3.2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления Пусть на точку действует восстанавливающая сила F , си-

ла сопротивления R, пропорциональной скорости и возму-

щающая сила Q (11.19). Дифференциальное уравнение движения имеет вид

mx -cx - x Q0 sin pt .

Деля обе части уравнения на m и учитывая обозначения

(11.13) и (11.20) 2b /m, k2 c/ m, получим

Уравнение (11.25) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний материальной точки при наличии сил сопротивления. Его общее решение имеет вид x x1 x2 ,

где x1 - общее решение однородного уравнения, т. е. уравне-

ния (11.22,) (при k b x1 определяется (11.27), а x2 - какоелибо частное решение полного уравнения (11.25). Пусть

x2 Asin pt )

153

где А и - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы (11.25) удовлетворялось тождественно.

Очевидно, что x Ap2 sin( pt ) .

Пусть pt p. Подставляя производные и функцию

x2 в левую часть уравнения (11.25) получим

A(-p2 k2 )sin 2bpAcos P0(cos sin sin cos ) .

Для выполнения этого равенства при любом , т. е. в лю-

бой момент времени t, коэффициенты при sin и cos левой и правой его частях должны быть порознь равны друг другу. Тогда,

A(k2 - p2 ) P0cos , 2bpA P0sin .

Возводя эти соотношения сначала в квадрат и складывая, а затем деля обе части этих выражений друг на друга, получаем выражения, определяющие А и

(11.22'), соответствующие случаю отсутствия сил сопротивления.

Рассматриваемые колебания являются сложными. Первое слагаемое (11.27) – это собственные колебания (рис. 11.11, а), а второе слагаемое - это вынужденные колебания (рис. 11.4).

Собственные колебания точки были изучены в 11.1. Как известно, эти колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени tu , называемого вре-

менем установления, ими практически можно пренебречь.

154