Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Рабочее число оборотов мотора должно быть значительно больше n1. Если по каким то условиям скорость вращения ротора увеличить нельзя, необходимо увеличивать жесткость (массивность) балки.

Задача 11.5. Исследовать вынужденные колебания груза, подвешенного к пружине (задача 11.1), если верхний конец А

Следовательно, груз будет совершать вынужденные колебания, так как полученное уравнение совпадает с уравнением

h 0 . Амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг фаз определяются формулами (11.32).

При p << k верхний конец пружины колеблется очень медленно. Тогда 0 и А =a0 а сдвиг фаз = 0. Груз будет при этом колебаться так, как если бы пружина была жестким стержнем, что соответствует условию k p. При p k на-

160

ступает резонанс и амплитуды колебаний начнут сильно возрастать. Если частота р станет больше k ( 1), то груз будет колебаться так, что когда конец. пружины идет вверх, груз бу-

дет опускаться вниз и наоборот (сдвиг фаз = 180 ). При этом амплитуда колебаний будет тем меньше, чем больше р. Наконец, когда р будет много больше k ( 1), амплитуда A 0 . При этом, хотя верхний конец пружины и совершает колебания с амплитудой a0 , груз будет оставаться в равновесии (в

точке О). В этом случае частота этих колебаний столь велика, что груз не успевает за ними следовать.

11.4. Задачи для самостоятельного решения

11.4.1.Материальная точка массой т = 0,4 кг совершает гармонические колебания по горизонтальной оси Ох по закону

x20sin(0,5 t ) (x выражено в см, tсм, t - в с.). Найти зави-

симость силы, действующей на точку от x .

11.4.2. Груз, сила тяжести которого G mg 20 Н подвешен на пружине, которая в естественном состоянии имеет длину l0 = 40см. Статическое удлинение пружины под дейст-

вием этого груза равно c = 4 см. Груз приведен в положение

при котором длина пружины составила 42 см и отпущен без начальной скорости. Определить период колебаний груза и наибольшую силу натяжения пружины.

11.4.3. К свободному концу А упругой горизонтальной балки, другой конец которой закреплен неподвижно, подвешен на пружине груз массой

m . Упругая сила балки пропорциональна стреле прогиба f , а сила натяжения пружины пропорциональна ее удлинению , причем жесткость балки равна c1 , а жесткость пружины равна c2 . Определить период колебаний груза, пренебрегая массами балки и пружины (рис. 11.17).

161

11.4.4. Материальная точка совершает прямолинейные колебания в вязкой среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О.

лебания около неподвижной точки A0 по закону yA AA0

0,05sin5 t2 , причем yA выражено в метрах, t - в секундах. Сила сопротивления жидкости при движении груза про-

порциональна его скорости v и при v 1 м/с равна 15,7 Н. Найти амплитуду вынужденных колебаний (рис. 11.18).

11.4.6. Колеблющаяся масса вибрационного грохота, установленного на наклонной плоскости с углом наклона (рис.

тать, что ползун В движется по тому же закону, что и проекция точки А кривошипа на ось x . Масса грохота равна m . Определить закон вынужденных колебаний грохота, пренебрегая потерями на трение, если кривошип вращается по законуt . При каком числе оборотов в минуту кривошипа насту-

162

пит резонанс?

11.4.7. Материальная точка массой m == 50 кг движется по горизонтальной прямой, притягиваясь к неподвижному

центру О силой F , пропорциональной расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности с = 200 н/м. Кроме того, на точку действует возмущающая сила F 2sin 2t , выраженная в ньютонах. Найти закон движения точки, если в начальный момент x x0 0; v v0 1 см/сек и возмущающая сила F в начале движения (при t 0,5 ) совпадает по направлению с начальной скоростью.

11.4.8. Груз массы m = 0,14 кг колеблется на пружине с жесткостью k= 56 Н/м с амплитудой A= 40 мм. Найти: 1) полную механическую энергию W ; 2) потенциальную энергию U в точке с координатой x= 0; 3) кинетическую энергию K в той же точке; 4) скорость прохождения этой точки грузом.

11.4.9.Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой m = 100 г, то частота колебаний уменьшится в n= 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

11.4.10.Период вертикальных колебаний висящего на пружине тела T01 = 1 с. Увеличение его массы изменило пери-

од колебаний до значения Т02 = 1,5 с. Определить смещение

положения равновесия конца пружины под действием дополнительного груза.

11.4.11.Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если их последовательное соединение заменить параллельным?

11.4.12.В открытые сообщающиеся сосуды с площадями поперечного сечения S и 2S налита ртуть массой М. Столбик ртути в одном из сосудов вывели из положения равновесия, вследствие чего ртуть начала колебаться. Найти период колебаний ртути.

11.4.13.С какой частотой колеблется палка массой m = 2

кг и площадью поперечного сечения S= 5 см2 , плавающая на

163

поверхности воды в вертикальном положении? (Принять во внимание, что период колебания груза на пружине

T0 2 m/ k , где k - коэффициент жесткости пружины). 11.4.14. После загрузки корабля период его колебаний по

вертикали увеличился с T01 = 7 с до T02 = 7,5 с . Какова масса

груза? Сечение корабля по ватерлинии S = 500 м2.

11.4.15. Ареометр, состоящий из шарика, заполненного дробью, и цилиндрической трубки с поперечным сечением S, помещен в жидкость с плотностью . Найти период колебаний ареометра около положения равновесия. Как будет изменяться период при увеличении его массы, уменьшении диаметра трубки, при увеличении плотности ?

11.4.16. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его немного погрузить в жидкость, а затем отпустить, то он начнёт совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания ареометра гармоническими и незатухающими, найдите плотность жидкости, в которой он плавает. Радиус вертикальной цилиндрической трубки ареометра равен 5 мм.

164