Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Глава 12. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

12.1. Механическая система. Силы внешние и внутренние Механической системой материальных точек или тел на-

зывается совокупность существенно взаимодействующих между собой материальных точек или тел.

Материальное тело также можно рассматривать как систему материальных частиц (точек), образующих это тело.

Классическими примерами механических систем являются солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения, а также любые машины или механизмы, в которых все тела связаны различными геометрическими связями - шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т. п. Различные силы в таких системах передаются через связи.

Совокупность тел, между которыми нет никаких существенных сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механической системой не является. В дальнейшем будут рассматриваться только механические системы тел, называемые далее просто системами.

В соответствии с изложенным, силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему.

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы.

Пусть Fe - внешняя сила, а Fi - внутренняя сила (индексы е и i oт начальных букв слов exterieur - внешний и interieur - внутренний).

Как внешние, так и внутренние силы - могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей. Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел рассматривается. Например, если рассматривать движение солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изу-

165

чении же движения Земли по ее орбите вокруг Солнца та же сила должна считаться внешней.

Внутренние силы имеют следующие свойства:

1. Векторная сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю. Действительно, по третьему закону динамики любые две точки системы действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными сила-

ми Fkmi и Fmki , сумма которых равна нулю. Такой же результат получается для любой другой пары точек системы. Поэтому

Fkmi 0 .

2.Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю. Действительно, если взять произвольный центр О, то из рис.

m0 Fkmi 0 и mx Fkmi 0 .

Из изложенного не следует, однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение тел системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел. Внутренние силы взаимно уравновешены только в абсо-

лютно твердом теле (аксиома первая).

Рис. 12.1

12.2. Масса системы. Центр масс Движение системы зависит не только от действующих сил,

но и от ее суммарной массы и распределения масс ее тел или материальных точек.

Масса системы равна сумме масс всех точек или тел, образующих систему

M mk .

166

В однородном поле тяжести, для которого g= const, сила тяжести любой частицы тела пропорциональна ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. На основании формул, определяющих координаты центра параллельных сил, с учетом того, что Gk mk g , G Mg после сокращения на g, получается

этих точек. Следовательно, положение точки С (хс, ус, zc) действительно характеризует распределение масс тела или любой механической системе, если под mk , xk , yk , zk понимать со-

ответственно массы и координаты точек этой системы.

Точка С с координатами, определенными по (15.1), называется центром масс или центром инерции механической сис-

где rk - векторы - радиусы точек системы.

Оси координат, проходящие через центр масс тела или системы тел, называются центральными.

Хотя для небольших тел и систем тел, находящихся в однородном поле тяжести, центры масс и тяжести совпадают, понятия эти не являются тождественными. Определение центра тяжести, как точки, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, имеет смысл только для системы, находящейся в однородном поле тяжести. Определение же центра масс, как характеристики распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел. Оно сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли система под действием сил тяжести или нет.

167

12.3. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например, если в системе, изображенной на рис. 12.2, при одинаковых шарах А и В увеличить вели-

чину h, то положение центра масс системы не изменится, но распределение масс станет другим и это можно обнаружить при вращении вокруг оси Oz.

Поэтому в механике используется еще одна характеристика распределения масс - момент инерции. Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции)

называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Осевой момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении. В дальнейшем будет показано, что роли осевого момента инерции при вращательном движении тела и массы тела при поступательном движении аналогичны.

По определению момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. При удалении материальной точки на

168

Например, квадрат расстояния от оси Ох будет yk2 zk2 и

т. д. Тогда моменты инерции относительно осей системы Oxyz

Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина

где М - масса тела.

Из определения следует, что если в некоторой точке сосредоточена масса всего тела и если момент инерции этой точки относительно оси Oz равен моменту инерции всего тела, то радиус инерции равен расстоянию от оси до этой точки.

Формулы (12.2) и (12.3) верны как для твердого тела, так и для системы материальных точек. При разбиении сплошного тела объема V и плотности на элементарные части объемов

dV с массой dm dV (12.2) в пределе станет интегралом

Интегрирование ведется по объему V тела, с учетом зависимости плотности и расстояния h от координат точек тела. Аналогично для сплошных тел формулы (12.3) примут вид

При постоянной плотности выносят из-под знака интеграла.

Определим моменты инерции некоторых однородных тел.

169