Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

в этих суммах модули всех слагаемых попарно одинаковы, но противоположны знаки. Согласно (12.10)

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси Oz приводит к обращению в нуль двух центробежных моментов инерции Jxz и Jyz .

Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции Jxz

и Jyz , содержащие в своих индексах наименование этой оси,

равны нулю, называется главной осью инерции тела.

Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой точки оси.

Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии.

Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости оси Ох и Оу и перпендикулярную к ним ось Oz. Тогда в силу симметрии каждой точке

Следовательно, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела.

Равенства (12.11) выражают условия, при которых ось Oz является главной осью инерции тела. Аналогично, если Jxy 0 и Jzx 0 то ось Ох будет главной осью инерции и т. д. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

то каждая из координатных осей Oxyz является главной осью инерции тела.

175

Если ось Oz направить по оси симметрии тела вращения, то все три оси любой системы Oxyz будут главными осями инерции, поскольку оси Ох и Оу будут перпендикулярными к плоскостям симметрии тела.

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.

Можно доказать, что в любой точке любого тела можно провести по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежные моменты инерции будут равны нулю, т. е. которые будут главными осями инерции тела.

Главные оси инерции играют важ-

ную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные

оси Oxyz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются. С главными осями связано также динамическое уравновешивание тел, определение центра удара и др.

Покажем, что главные оси инерции существуют в любой точке тела. Для этого докажем сначала следующую теорему: ось Oz, момент инерции относительно которой имеет экстремальное значение по сравнению с моментами инерции относительно соседних с ней осей, проходящих через точку О, является главной осью инерции тела для этой точки. Следовательно, надо доказать, что если при любом элементарном повороте

176

оси Oz вокруг точки О будет dJz = 0 (условие экстремума), то эта ось является для точки О главной осью инерции.

Проведем через точку О координатные оси Oxyz и повернем их (не меняя положения тела) вокруг оси Ох на угол d 1 (рис. 12.6). Как известно из аналитической геометрии, при таком повороте осей координата yk любой точки bk тела преоб-

разуется по формуле

y'k yk cos 1 zk sin 1.

ние оси Оz складывается из таких двух поворотов, условия экстремума Jz примут вид

dJz 1 0, dJz 2 0 .

Следовательно, если это условие выполняется, то поскольку d 1 0, d 2 0, должно быть Jxz 0, Jyz 0, т. е. ось Oz будет для точки О главной осью инерции. Тем самым теорема доказана.

Если изменять направление оси Оz, проходящей через точку О тела, то одновременно будет изменяться и осевой момент инерции Jz. При таком изменении Jz, не может ни возрас-

177

тать, ни убывать неограниченно, поскольку для любого телаJz 0. Отсюда на основании соответствующих теорем анализа следует, что среди всех направлений оси Oz существует по крайней мере одно, для которого Jz имеет максимум (по сравнению с его значениями для соседних осей), и одно, для которого Jz имеет минимум. Тогда из доказанной теоремы вытекает, что через любую точку тела проходят по крайней мере две главные оси инерции. Можно показать, что они взаимно перпендикулярны. Из (12.11) следует, что если две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через точку О (например, Ох и Оу) являются главными, то Jxz 0 , Jyz 0 и третья, перпендикулярная к ним ось Оz будет также главной осью инерции. Следовательно, через любую точку тела действительно проходят по крайней мере три взаимно перпендикулярные главные для этой точки оси инерции тела.

178