Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

темы неподвижен, то при выполнении закона сохранения движения центра масс вдоль оси Ох сумма произведений масс (или сил тяжести) тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс должна быть равна нулю. Определяя абсолютные перемещения i , сле-

дует учитывать их знаки.

Задача 13.1. На носу и корме лодки массой M сидят на расстоянии l друг от друга два человека весом mA и mB . Пренебрегая сопротивлением воды, определить, куда и насколько переместится лодка, если люди поменяются местами.

Решение. Чтобы исключить из рассмотрения неизвестные силы трения обуви о дно лодки и мускульные усилия людей, будем рассматривать лодку и людей как одну систему (при этом указанные силы станут внутренними). Внешними силами, действующими на систему, будут вертикальные силы

G,GA,GB , N . Тогда Fkxe 0 и, так как в начальный момент vC 0, то xCx const . Следовательно, абсолютные перемеще-

ния всех тел связаны зависимостью (13.6).

Далее следует изобразить лодку и людей в конечных положениях. Рекомендуется независимо от того, куда фактически происходит смещение, изображать лодку (систему) в смещенном положении так, чтобы координата ее центра масс была положительной. Если после вычислений х получится отрицательным, то это будет означать, что смещение происходит в другую сторону.

По определению перемещение лодки л x1 . Абсолютное перемещение первого человека A x l ; абсолютное перемещение второго человека равно BB1, а проекция этого пере-

185

мещения на ось Ох будет равна B l x . Тогда из (13.7)

получим Mx mA x l mB (l x) 0.

тор, поставленный на гладкую горизонтальную плоскость, когда вал вращается с постоянной угловой скоростью . Найти дополнительно максимальную силу, которая будет действовать на болт D, неподвижно закрепляющий мотор.

Решение. Чтобы исключить силы, вращающие вал, сделав их внутренними, рассмотрим весь мотор как одну систему.

При незакрепленном моторе все действующие на него силы тяжести G1 m1g , G2 m2g и реакция плоскости будут вертикальными и, как и в предыдущей задаче, будет выполняться закон сохранения движения центра масс вдоль оси Ох. Изображаем мотор в произвольном положении (рис. 16.3), считая начальным то положение, когда точки В и А лежат на одной вертикали (на оси Оу). Тогда в произвольном положении A x, B x a sin . Учитывая, что t , из (13.6)

получим m2 m1(x asin t ) 0, откуда x m1 asin t , где

M

M m1 m2 .

186

Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с круговой частотой .

2) Когда мотор закреплен, то из первого из уравнений (16.5) горизонтальная реакция Rx болта будет равна

Rx MxC , где xC (m2xA m1xB )/ M .

В этом случае точка А неподвижна и xA h=const , xB h asin t . Дифференцируя х и умножая его на М, нахо-

дим Rx MxC m1xB m1a 2 sin t .

Сила давления на болт равна -R.

Задача 13.3. Кривошип АВ длиной r и массой m , вращающийся с постоянной угловой скоростью , приводит в движение кулису и связанный с нею поршень D, общая масса которых равна M (рис. 13.4). На поршень

при его движении действует постоянная сила Q. Пренебрегая трением о направляющие, найти наибольшую горизонтальную силу давления на ось А кривошипа.

Решение. Чтобы исключить силы, вращающие кривошип, и силу давления на него со стороны кулисы, рассмотрим движение всей системы. Тогда из первого из уравнений (16.5), если обозначить горизонтальную реакцию оси А через Rx , по-

лучим:

Сила давления на ось равна по модулю R и направлена в противоположную сторону. Ее максимум будет достигнут прии будет равен Q r 2(0,5m M ).

187

13.5.Задачи для самостоятельного решения

13.5.1.В механизме, изображенном на рис. 13.5, кривошип

OO1 r массой m1 , вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью и вращает колесо 1 радиуса r и массы m , которое катится без скольжения по неподвижному колесу 2 радиуса 2r . Центр тяжести колеса 1 находится в точке O1 . Стержень АВ массы m2 , соединенный шарниром А с колесом 1, движется поступательно в вертикальных направляющих. Найти проекции импульса этой системы на координатные оси x и y

(рис. 13.5).

13.5.2.Определить перемещение

кости при помощи лебедки поднимается груз С массой m2 так,

что расстояние АС изменяется по закону s 0,5at2 . В начальный момент вся система находится в покое. Определить скорость, с которой будет двигаться платформа; сопротивлением движению платформы пренебречь.

13.5.4. Мотор, массой M, прикреплен к фундаменту болтами (рис.13.3). Масса ротора мотора равна m , а его центр масс В смещен относительно оси вращения на расстояние AB = e . Ротор вращается по закону 0,5 t2 Определить верти-

188

кальную силу давления мотора на фундамент и горизонтальную силу, действующую на все болты, в момент времени t 1 с.

13.5.5. Человек массы m = 70 кг переходит с кормы на нос лодки. На какое расстояние переместится лодка длиной l= 5 м относительно дна

13.5.6.Человек массы m = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние переместится лодка длиной l= 3 м, если ее масса M = 120 кг?

13.5.7.Лодка неподвижно стоит в озере. На корме и на носу лодки на расстоянии L= 5 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки М= 150 кг , массы рыболовов m1 = 90 кг и m2 = 60 кг. Рыболовы меняютсяместами. Определить перемещение лодки.

13.5.8.Плот массой M = 500 кг и длиной l= 10 м неподвижен в стоячей воде. С противоположных концов плота од-

новременно начали двигаться два человека с массами m1 = 70

кг и m2 = 100 кг. Найти смещение плота в момент, когда человек с меньшей массой пройдет весь плот, а второй - будет на середине.

13.5.9. Снаряд разорвался в верхней точке траектории на высоте H = 100 м на две части массами m1= 1 кг и m2 = 1,5

кг. Скорость снаряда в этой точке v0= 100 м/с. Скорость большего осколка оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению с v0 и равной v2 = 250 м/с. Определить расстоя-

ние S между точками падения обоих осколков без учета сопротивления воздуха.

13.5.10. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью vпод некоторым углом к горизонту, разорвался в верхней точке своей параболической траектории на два осколка равных масс. Один осколок после взрыва возвращается к орудию по прежней траектории. Где упадет второй осколок? Упадут ли оба ос-

189