Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
колка на землю одновременно? Сопротивление воздуха не учитывать.
13.5.11. Снаряд разорвался в верхней точке траектории на высоте h= 19,6 м на две одинаковые части. Через время = 1 с после взрыва одна часть падает на землю под местом взрыва. Определить расстояние S2 между точкой падения второй час-
ти и орудием, если первая часть упала от орудия на расстоянии S1 = 1000 м. Сопротивление воздуха не учитывать.
13.5.12. Однородный стержень длиной l нижним концом касается гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 13.8). Верхний конец стержня подвешен на нити, так что стержень образует с горизонтальной плоскостью угол . Нить пережигают. В какую сторону и на сколько сместится нижний
|
конец упавшего стержня? |
|
|
13.5.13. Шарики массами m1 и m2 со- |
|
|
единены нерастяжимым и невесомым гори- |
|
|
зонтальным стержнем. В начальный момент |
|
|
времени у поверхности земли шарикам со- |
|
Рис. 13.8 |
общили скорости v1 и v2 |
под углами и |
к горизонту (рис. 13.9). |
Какое соотношение |
|
должно быть между углами и , чтобы шарикам можно было сообщить эти скорости? Как будет происходить движения системы? На какую высоту поднимется центр масс системы?
|
13.5.14. Плот массой M = 500 кг и дли- |
|
ной l= 9,2 м неподвижен в стоячей во- |
|
де. С противоположных концов плота |
Рис. 13.9 |
одновременно начали двигаться два че |
ловека модули импульсов которых из- |
|
меняются по законам |
p1 a1t , p2 a2t , где a1= 100 Н, a2 = |
200 Н, t- время в секундах. С какой скоростью будет двигаться центр масс плота? На какое расстояние переместится центр масс плота к моменту окончания движения второго человека, если его масса равна 80 кг. Сопротивления воды и воздуха и воды не учитывать.
190
Глава 14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА
14.1. Импульс системы Импульсом системы материальных точек называется век-
тор L, равный векторной сумме (главному вектору) импульсов всех точек системы (рис. 14.1)
L mkvk . |
(14.1) |
При произвольных векторах скоростей точек системы век-
Рис. 14.1
Тогда
тор L может иметь любой модуль и даже может быть равным нулю.
Следовательно, по вектору L нельзя определить характер движения системы.
Дифференцируя выражение
mkrk MrC
(12.1’) по времени, получим
|
|
|
|
mkrk |
MrC |
или mkvk |
MvC . |
L mkvk MvC . |
|
(14.2) |
|
т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость центра масс системы. Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении импульсов твердых тел.
Из (14.2) видно, что если тело (или система) движется, но его центр масс остается в покое, то импульс тела равен нулю. Например, импульс тела, вращающегося вокруг неподвижной центральной оси равен нулю.
Если же движение тела является сложным, то вектор L не будет характеризовать вращательную часть движения вокруг
центра масс. Например, для катящегося колеса L MvC , неза-
висимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С. Таким образом, импульс характеризует только поступательное движение системы. При непоступательном же движении
191
вектор L характеризует только поступательную часть движения системы со скоростью центра масс.
14.2. Теорема об изменении импульса Из системы дифференциальных уравнений движения сис-
тема из n материальных точек (13.1) следует
mkak Fki Fke .
Поскольку сумма внутренних сил равна нулю и
mkak |
|
d |
( mkvk |
) |
dL |
, |
||
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|||
|
|
dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fke . |
(14.3) |
|||||
|
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Соотношение (14.3) выражает теорему об изменении импульса системы в дифференциальной форме: производная, по времени от импульса системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси получим
|
dLx |
Fkxe , |
|
dLy |
|
Fkye , |
dLz |
Fkze . |
(14.4) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|||
Рассмотрим другое выражение теоремы. Пусть в моменты |
||||||||||
времени t = 0 и t1 |
импульс системы равен L0 и L1. Интегрируя |
|||||||||
(14.4) по времени, получим |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t1 |
|
t1 |
|
||
|
|
L1 L0 ( Fke )dt Fkedt . |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Так как интегралы, дают импульсы внешних сил, |
|
|||||||||
|
|
|
|
L1 L0 |
pke . |
|
(14.5) |
|||
Выражение (14.5) формулирует теорему об изменении импульса системы в интегральной форме: изменение импульса системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же промежуток времени.
В проекциях на координатные оси получим
192
L1x L0x pkxe , L1y L0y pkye ,L1z L0z pkze . (14.6)
Между этой теоремой и теоремой о движении центра масс существует связь. Подставляя L Mvc в (14.3), и учитывая,
|
|
|
|
|
|
что, vc |
aC , получим |
L |
Mvc |
MaC |
Fke , т. е. уравнение |
(13.4). Следовательно, теоремы о движении центра масс и об изменении импульса системы - это, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), когда можно определить центр масс системы, можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (13.4) обычно пользоваться удобнее.
Для сплошных сред (жидкость, газ) понятие о центре масс всей системы практически теряет смысл. В этих случаях для решения задач пользуются теоремой об изменении импульса системы. Важные приложения эта теорема имеет в теории удара (глава 17) и при изучении реактивного движения (14.5).
Теоремы об изменении импульса системы важны потому, что позволяют исключить из рассмотрения заранее неизвестные внутренние силы (например, силы взаимодействия друг с другом частиц сплошной среды).
14.3. Закон сохранения импульса Из теоремы об изменении импульса системы получаются
практически важные следствия:
1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю: Fke 0. Тогда из (14.3) следует, что
L const. Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы будет постоянным.
2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на некоторую ось Ох равна нулю:Fkxe 0 . Тогда из (14.4) следует, что Lx const . Следова-
тельно, если сумма проекций всех действующих внешних сил
193
на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось остается постоянной.
Эти результаты и выражают закон сохранения импульса системы. Из них следует, что внутренние силы не могут изменить суммарный импульс системы. Это следует из примеров.
а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле создаст внутренние силы. Эти силы не могут изменить суммарный импульс системы. Поскольку пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей импульс, направленный вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такой же импульс в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Аналогичное явление - откат получается при стрельбе из артиллерийского орудия.
б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе сплошной среды (воздуха или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарный импульс этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) движется вперед со скоростью, при которой общий импульс рассматриваемой системы остается равным нулю, так как до начала движения импульс системы был равен нулю.
Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.
в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из реактивного двигателя ракеты. Действующие при этом силы давления являются силами внутренними и не могут изменить суммарный импульс системы ракета - продукты горения топлива. Поскольку вытекающие газы имеют импульс, направленный назад, ракета получает движение вперед. Величина этой скорости определена в 14.5.
194