Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А
Если, например, считать, что собственными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда их амплитуды будут меньше 0,01A, то величина tu
tu |
|
1 |
ln(0,01A/ a). |
(11.28) |
|
||||
|
|
b |
|
|
Как видно, чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b, тем время установления больше.
Один из возможных процессов установления колебаний, происходящих по закону (11.27) и начинающихся из состояния покоя, показан на рис. 11.11, в.
При других начальных условиях и соотношениях между частотами р и k1 , характер колебаний в интервале времени
0 t tu может быть совершенно другим. Однако, в любом случае, по истечении времени установления tu собственные
колебания практически затухнут и точка будет совершать колебания по закону
x Asin(pt ). |
(11.29) |
Именно эти колебания и называются вынужденными. Они являются незатухающими гармоническими колебаниями с амплитудой А (11.26) и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина определяет сдвиг фазы вынужденных
колебаний относительно фазы возмущающей силы. |
|
|||
Пусть |
|
P / k2 |
|
|
p/ k , h b / k , |
0 |
Q / c. |
(11.30) |
|
|
0 |
0 |
|
|
где - отношение частот; h - величина, характеризующая силу сопротивления, 0 - величина статического отклонения точки под действием силы Q0 (например, при колебаниях гру-
за на пружине 0 - это статическое удлинение пружины, вы-
зываемое силой Q0 ).
Деля числитель и знаменатель равенств (14.26) на k2 , получим
155
A 0 / 
(1 2 )2 4h2 2 , tg 2h /(1 2 ). (11.31)
Из формул (11.31) следует, что А и зависят от двух безразмерных параметров и h. Для большей наглядности эти зависимости при некоторых значениях h показаны на графиках
(рис. 11.12 и 11.13).
Величину А/ 0 называют коэффициентом динамичности.
Для каждой конкретной задачи по ее исходным данным можно вычислить величины 0 , , h и найти значения А и , поль-
зуясь соответствующими графиками или формулами (11.21). Из этих графиков (или формул) видно, что, не изменяя па-
раметров колеблющейся системы и изменяя соотношение между р и k , можно получать вынужденные колебания с различными амплитудами.
Когда сопротивление очень мало, а величина А существенно отличается от единицы, в формулах (11.31) можно приближенно считать h= 0.
Тогда будем иметь результаты, полученные в 11.1, а
именно: |
0, |
1; |
||||
A 0 / |
|
1 2 |
|
, |
||
|
|
|||||
|
|
|
(11.32) |
|||
|
|
|
|
|
, |
1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим следующие частные случаи.
1) Если отношение частот очень мало, то есть p << k, то, считая приближенно 0 , получим из формулы (11.31) A 0 . Колебания в этом случае происходят с амплитудой,
равной статическому отклонению 0 и сдвигом фаз 0.
2) Если отношение частот очень велико ( р >> k ), то величина А становится малой. Этот случай важен при решении проблем виброизоляции (гашения колебаний) в различных сооружениях, приборах и др. В этом случае, считая сопротивле-
ние малым и пренебрегая в (11.31) 2h |
и 1 по сравнению с 2 |
|||
, получаем для определения А приближенную формулу |
||||
A |
0 |
/ 2 P / p2 |
. |
(11.31') |
|
0 |
|
|
|
|
|
156 |
|
|
3) Во всех практически важных случаях h 1. Как видно из (11.31), если близка к единице, то амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при этом происходит, называется резонансом.
Из формулы (11.31) видно, что A Amax , когда стоящая в
знаменателе |
(11.31) величина |
f ( ) (1 )2 |
4h2 |
(где |
||
2 ) имеет минимум. Из уравнения |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
) 0 |
|
|
|
f ( ) 2(1 2h |
|
|
|
||
следует, что |
A имеет максимум |
при |
1 2h |
2 , т. е. |
при |
|
p 
1 2h2 . Следовательно, резонанс наблюдается, при
немного меньше 1. Пренебрегая величиной h2 в сравнении
с единицей, можно считать, что при резонансе 1.
Для практических целей амплитуду и сдвиг фаз при резонансе можно вычислять по приближенным формулам, которые получаются из (11.31), если в них положить 1. Тогда
A 0,5 0 / h, p 2 / 2. |
(11.31'') |
Отсюда видно, что при малых h величина |
может дос- |
тигать довольно больших значений. |
|
Колебания с амплитудой Ap , как и вынужденные колеба-
ния, устанавливаются при резонансе постепенно. Процесс установления колебаний аналогичен показанному на рис. 11.11, в. Чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b или h , тем больше величина Ар, но одновременно будет больше и время tu установления этих колебаний (см. формулу (11.28)).
Когда сопротивление отсутствует, т. е. b h 0 , то, как было установлено, закон вынужденных колебаний при резонансе определяется (11.24), а график - рис. 11.14. Таким образом, при отсутствии сопротивления процесс «раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, а размахи колебаний со временем непрерывно растут. Аналогично будут происходить и резонансные колебания при очень малых сопротивлениях.
157
11.3.3. Общие свойства вынужденных колебаний Из полученных результатов вытекает, что вынужденные
колебания имеют следующие важные свойства, отличающие их от собственных колебаний точки.
1)Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий.
2)Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают.
3)Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит.
4)Даже при малой возмущающей силе, когда Q0 мало,
можно получить сильные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс).
5) Даже при большой возмущающей силе вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р будет много больше k .
Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют важную роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин, механизмов и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента.
Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно проследить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для которого р= , где - угловая скорость вращения ротора двигателя (см. задачу 11.4). С увеличением амплитуда А колебаний вибрирующей системы (конструкции или фундамента) будет возрастать. Когда k , наступает резонанс и амплитуды вынужденных колебаний достигают максимума. При дальнейшем увеличении амплитуда А убывает. Приk амплитуда А будет практически равна нулю.
Во многих инженерных сооружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами p и k так, чтобы амплитуды вы-
158
нужденных колебаний были практически равны нулю
( p k ).
Противоположные тенденции используются в радиотехнике, где резонанс используется для отделения сигналов одной радиостанции от сигналов всех остальных радиостанций (настройка приемника).
На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например, вибрографов - приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной ко-
ры, и т. п.
Задача 11.4. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на 0 = 1 см. При каком числе обо-
ротов вала мотора в минуту наступит Рис. 11.15 резонанс?
Решение. Из формулы (11.11') сле-
дует, что период собственных колебаний балки T 2 
0 / g .
При смещении центра тяжести ротора мотора относительно оси вращения ротора на вал будет действовать центробеж-
ная сила Q0 (рис. 11.15). Частота р изменения этой силы равна угловой скорости вала двигателя . Проекция этой силы на ось Ох, равна Qx Q0 sin t . Период вынужденных колебании
T1 2 / Т.
Резонанс наступит, при T T1, т. е. при
1 2 /T1 
g / 0 
9,81/ 0,01 31,3c 1 .
Критическое число оборотов ротора
60
n1 2 1 = 300 об/мин.
159