Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Эквивалентная жесткость пружины это жесткость некоторой пружины, заменяющей в колебательном процессе несколько пружин. Эквивалентная жесткость определяется по формуле

В частном случае, когда жесткости пружин одинаковы, например при c1 c2 c, получаем

c c1c2 /(c1 c2 ) 0,5c

Период колебаний системы

T 2 0 / g 2 m(c1 c2 )/ c1c2 .

Задача 11.3. Решить предыдущую задачу, считая, что груз подвешен на пружинах согласно рис. 11.6, б.

Решение. В этом случае очевидно, что статические деформации обеих пружин будут одинаковыми и равными по модулю 0 . При этом верхняя пружина будет растягиваться

силой F1 c1 0 , а нижняя сжиматься силой F2 c2 0 . Урав-

нение равновесия груза в проекциях на вертикальную ось при-

T2 0 / g 2 m /(c1 c2 ).

11.2.Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)

Рассмотрим влияние на свободные колебания сопротивления среды, считая, что сила сопротивления пропорциональна

первой степени скорости: R v .

145

Здесь знак минус указывает, что сила R направлена противоположно вектору скорости v колеблющегося тела. Пусть на точку при ее движении действует восстанавливающая сила

Легко проверить, что величины k и b можно сравнивать друг с другом, поскольку их размерности одинаковы (1/сек).

Уравнение (11.12) является дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки при сопротивлении, пропорциональном скорости. Его решение, как и решение

уравнения (11.3), ищут в виде x ent . Подставляя это выражение в уравнение (11.12), получим характеристическое уравне-

Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Тогда общее решение уравнения (11.12) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (11.3)

только множителем e bt и примет вид

146

Входящие сюда величины а и являются постоянными интегрирования и определяются начальными условиями.

Колебания, происходящие по закону (14.17), называют затухающими, так как за счет мно-

называют периодом затухающих колебаний. За период точка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав двигаться из положения х= 0 вправо (см. рис. 11.8), приходит в то же положение, двигаясь также вправо. Формула (11.18) с учетом равенство (11.17), принимает вид

действии сил сопротивления период колебаний несколько увеличивается. При малом сопротивлении k и b , имеют различ-

ный порядок и k >> b . Тогда величиной (b/ k )2 по сравнению с единицей можно пренебречь и считать Т1 =Т. Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным Т1. Следовательно, если первое макси-

147

мальное отклонение вправо х, происходит в момент t1 то вто-

рое отклонение х2, наступит в момент t1 T1. Тогда по форму-

ле (11.17), учитывая, что kT1 2 , получим:

x1 ae -bt1 sin(k1t1 ) ,

x2 ae -b(t1 T1 ) sin(k1(t1 T1 ) ) x1 e -bT1 .

Так же для любых отклонений xn 1 и xn xn 1 xn e -bT1 .

Следовательно, максимальные отклонения материальной точки (амплитуды колебаний) убывает по закону геометрической прогрессии.

Из изложенного следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепенное их затухание - убывание амплитуды колебаний по закону геометрической прогрессии.

Пусть b> k, т. е. сопротивление по сравнению с восстанав-

ливающей силой велико. Пусть r b2 k2 . Тогда корни характеристического уравнения (14.14) будут равны n1,2 b r.

Так как r < b, то оба корня действительны и отрицательны и решение уравнения (11.12) при b>k, имеет вид

x C1e (b r )t C2e (b r )t .

Поскольку b r 0, функции e (b r )t и e (b r )t со временем монотонно убывают, асимптотически стремясь к нулю. Движение точки в этом случае не будет колебательным. Точка M под действием восстанавливающей силы будет асимптотически приближаться к положению равновесия, при котором х=

148

0. График такого движения с начальными условиями при t = 0 x x0 , vx 0 показан на рис. 11.9.

11.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

Пусть кроме восстанавливающей силы F на точку действует и периодически изменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось Ох (рис. 11.10) равна

Qx Q0 sin pt . (11.19)

Эта сила называется возмущающей (возбуждающей) силой, а колебания при действии такой силы, называются вынужденными. Величина р в (11.19) называется частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть и сила, изменяющаяся со временем по произвольному периодическому закону.

Рис. 11.10

Рассмотрим случай, когда Q изменяется

по закону (11.19). Такая возмущающая сила называется гармонической. Подобная сила возникает при вращении тела, центр тяжести которого смещен относительно оси вращения (см. задачу 11.4).

11.3.1. Вынужденные колебания при отсутствии сил сопротивления

Пусть на точку кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 11.10), действует только возмущающая сила Q. Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид

mx -cx Q0 sin pt .

149