Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

Поскольку вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости Mbn, ab 0. В итоге получаем следующие диффе-

ренциальные уравнения движения точки по заданной кривой

Эти уравнения позволяют решить обе задачи несвободного движения, сформулированные в 10.4.

Уравнение (10.2) не содержит неизвестной реакции N и позволяет определить закон движения точки вдоль кривой, т. е. зависимость (t ). Уравнения же (10.3) служат для опреде-

ления реакции связи N (см. 10.2) и ими можно пользоваться и в случае, когда соприкасающиеся поверхности не являются гладкими. Для этого только нужно учесть силу трения.

При отсутствии связи N 0 уравнения (10.2) и (10.3) верны и описывают движение свободной точки.

Задача 10.1. Тяжелому кольцу М, нанизанному на горизонтально расположенное неподвижное гладкое проволочное кольцо радиуса R , сообщают начальную скорость v0 , направ-

ленную по касательной к окружности большого кольца. При движении на кольцо действует сила сопротивления F kmv , где m - масса кольца, v - его скорость, k - постоянный коэффициент. Определить время движения кольца до остановки.

120

Решение. Помещаем начало отсчета О в начальном положении кольца (рис. 10.2). Изображаем кольцо в произвольном

В момент времени остановки груза t t1 v 0 . Подстав-

ляя в это уравнение v 0 , получим t1 2v0 / k .

Задача 10.2. В предыдущей задаче найти путь , пройденный кольцом до остановки, считая, что на него действует сила трения F fN : радиус кольца R= 0,3 м, начальная скорость v0 2 м/с, коэффициент трения между кольцами f 0,3.

Решение. Выбираем начало отсчета и проводим оси M , Mn и Mb так же, как и в предыдущей задаче (см. рис. 10.2). Действующими на кольцо силами будут G mg , N и

сила трения F . Составляя уравнения (10.2), (10.3), получим систему

F f ( Nb Nn ). Это значит, что определять силу трения на основании принципа суперпозиции как сумму сил трения, по-

рожденных составляющими силы N , нельзя. 121

Поскольку Nb G mg , F fmg2 v4 / R2 .

Как видно, сила трения зависит через реакцию N от скорости движения кольца. Поэтому данную задачу, как и предыдущую, нельзя решить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

В момент остановки v0 = 0. Если принять g 10 м/с2, то

10.2. Определение реакций связей При движении точки по заданной кривой реакция связи

находится с помощью уравнений (10.3). При этом движущуюся точку следует изображать в том положении, для которого определяется эта реакция. Если скорость v , входящая в уравнение (10.3), заранее не известна, то во многих случаях ее можно определить по теореме об изменении кинетической энергии (9.6).

122

Уравнение (10.3) показывает, что при криволинейном

движении динамическая реакция N , в отличие от статической, зависит не только от действующих активных сил и вида связи, но и от скорости движения.

Задача 10.3. Груз массы m, подвешенный на нити длиною l, отклоняют от вертикали в положение M0 , и отпускают без

начальной скорости. Определить силу натяжения нити T в момент, когда груз дойдет до низшего положения M .

Решение. Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити, т. е. в положении М (рис. 10.3). На

груз действуют сила тяжести G и реакция нити T . Пусть нормаль Mn направлена к центру кривизны траектории, а v1 - скорость груза в положении М. Поскольку в данном случае l, уравнение

(10.3) имеет вид

mv12 / l T G или T G mv12 / l .

Скорость v1 определим из (9. 15)

0,5mv12 0,5mv02 A(aM0M1 ) .

Работу на участке M0M1 совершает только сила G . Поэтому

A(aM M ) Gh Gl(1 cos ). Поскольку

0 1

Рис. 10.3

v0 0, получим 0,5mv12 mgl(1 cos ) и

Tmg(3 2cos ).

Вчастном случае, если угол начального отклонения =

90 , натяжение нити при прохождении через вертикаль будет равно 3mg , т. е. утроенной силе тяжести груза.

Из этого решения следует, что динамические реакции могут значительно отличаться от статических.

123

Задача 10.4. Желоб состоит из двух дуг АВ и BD окружностей радиуса R, расположенных в вертикальной плоскости так, что касательная BE в точке сопряжения дуг горизонтальна (рис. 10.4). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик чтобы он соскочил с желоба в точке М, лежащей на таком же расстоянии h ниже линии ВЕ.

Решение. Шарик оторвется от желоба в той точке М где его давление на желоб (или реакция N желоба) станет нулевым.

Следовательно, задача сводится к определению зависимости N(h). Изображаем шарик в точке М. На него действуют

4h R h , откуда h 0,2R.

Задача 10.5. Груз М подвешен на нити длиною l (рис. 10.5). Какую наименьшую начальную скорость v0 , перпендикуляр-

124