Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович
нормалі до еліпсоїда будуть na і nb. Вони не перетинаються, а перстинаоть малу піввісь в точках na і nb. Якщо провести площини через нормалі в точках А і В, то вони перетнуть еліпсоїд по нормальних перерізах АаВ—прямий нормальний переріз в точці А на точку В і обернений нормальний переріз зточки В на точку А. Криві АаВ і ВbА називаються взаємно оберненими нормальними перерізами.
Побудуємо в площині нормального перерізу АВnа із центра nx радіусом Ana= N дуги.Одержимо точку В'.
Співвідношення між довжиною дуги кола б і довжиною дуги нормального перерізу S.
|
S |
|
e2S2 |
cos2 B cos2 |
|
|
|
|
|
p 1 |
|
A |
|
; (5.1) |
|
|
|
||||||
|
N1 |
|
6N1 |
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Де В1—шнротй точкн А,
А12— азимут нормального перерізу з точки А на точку В, або:
|
|
S 2 1 |
|
e2S2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
B1 cos |
|
(5.2) |
|||
|
|
|
||||||||
|
1 |
6N1 |
|
|
A12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При S<150 км з забезпеченням точності до 0,0001"
Де:
2 1 p N1
41
2.Поняття про взаємні нормальні перерізи.
Приведем нормаль na до точки А, яка знаходиться на поверхні еліпсоїда. Приведем нормальний переріз з точки Ав точку В. Сумістимо з малою віссю обертання вісь у. Друга координатна лінія буде суміщена з другою піввіссю. OA1 = YA
Рис,5.2. Взаємні нормальні перерізи,
|
|
|
|
|
a1 e2 sinB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тоді: OA Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
(5.4) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
A |
|
|
|
1 e2 sin |
2 B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A1nA N1 sin B1 , |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 e2 |
sinB |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
asinB |
|
||||||||||||||||
On |
A |
An |
OA |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
a |
|
|
1 |
|
1 e2 sinB |
|
1 e2 sin |
2 B |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a e2 sinB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a e2 sinB |
||||||||||||
Звідси: On |
A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; (5.5) |
On |
|
|
2 |
|
; (5.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 e2 sin2 B |
|
|
b |
1 e2 sinB |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
В розглянутому нами випадку В2>В1. Точка В лежить не на тому самому |
|||||||||||||||||||||||||||||
меридіані, що і А і має більшу широту, 3 формул (5.5) і (5.6) |
Onb Ona. |
||||||||||||||||||||||||||||
Радіуси кривизни першого вертикала перетинаються з віссю а. Нормалі схрещуються в просторі, але не перетинаються.
42
Якщо проведем площини через точки АВnа, Аbnb, то ці площини дадуть в перетині з еліпсоїдом взаємно нормальні перерізи. АbВ буде оберненим нормальним перерізом до перерізу АаВ.
5.2. Вимiрювяння кута на поверхні еліпсоїда.
Вимірюючи кут в точці А, при тій самій установці приладу одержим два різні нормальні перерізи. P
na
Рис.5.3. Вимірювання кута.
Криві АаВ і АаС—нормальні прямі перерізи з точки А на точки В і С. Кут ВАСna—двогранний між прямими нормальними перерізами в точці А. Розглянемо на прикладі трикутника тріангуляції, який проектований на еліпсоїд.
Горизонтальні кути не утворюють замкнутого трикутника. Невизначеність в кутах можна обійти, якщо вершини трикутника з'єднати геодезичною лінією
Рис.5.4. Виміряні кути в трикутнику тріангуляції.
43
Таким чином, прямі нормальні перерізи дають невизначеність при вимірюванні кутів. Щоб уникнути невизначеності, з'єднують пункти найкоротшою лінією між двома пунктами на поверхні - геодезичною лінією.
На площині геодезична лінія є прямою, на кулі—довжина дуги великого кола, на циліндрі—гвинтова лінія.
5.З. Поняття про геодезичну лінію на поверхні еліпсоїда обертання.
Геодезичною лінією на будь-якій поверхні називається крива, в кожній точці якої стична площина проходить через нормаль до поверхні в цій же точці.
Стичною площиною кривої називають площину, яка проходить через дотичну до кривої в даній точці і деяку іншу точку на кривій безмежно близько розташованій до точки дотику.
Для того, щоб визначити геодезичну лінію АВ. на поверхні еліпсовда, необхідно знати перший елемент геодезичної лінії. Поставивши прилад в точці А і знівелювавши його, візуєм на точку В і по цьому напрямку віднімаєм точку S. В точці А висота співпадає з нормаллю. Одержим елемент геодезичної лінії Аа. Дальше ставим прилад в точці а. Наводим трубу теодоліта на точку А, закріплюєм лімб і повертаєм трубу на 180 і на поверхні еліпсоїда на безмежно малій віддалі дістанем точку в і т.п.
Рис. 5.6. Геодезична лінія АВ.
В кінці отримаємо точку В. Відрізок Аав є дотичною в точці а. Цей відрізок лежить в стичній площині. Він є частиною якоїсь геодезичної лінії.
Геодезична лінія в точці А ділить кут ВвА і ВаА у відношенні 1:2. Одержим геодезичну лінію. Невизначеність зникає. Геодезична лінія проходить ближче прямого нормального перерізу. Ділять на три частини.
Якщо кут трикутника є кут між взаємними нормальними перерізами, то
44
кут між прямим нормальним перерізом і геодезичною лінією
|
; (5.7) |
3 |
|
Дамо вивід формули основного рівняння геодезичної лінії.
|
|
|
P |
|
B |
ctdr |
|
|
-dr |
|
|
A |
d |
r |
|
|
N |
|
|
|
|
B |
O |
Теорема: Добуток радіуса паралелі r на сінус азимута в будь-якій точці геодезичної лінії є величина постійна.
Візьмем на еліпсоїді точку А з широтою В.
dr M d B sin B; (5.8) AB NdB; (5.9)
Розглянем сфероїдальний трикутник, утворений меридіаном точки А, елементом dS геодезичної лінії з точки А на точку В і меридіаном точки В'. В точці В' проведем елемент паралелі і одержим точку С. А—азимут геодезичної лінії.
Р
Рис.5.8.