Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович
|
A A1 |
|
|
A A1 |
|
|
|
bc |
|
|
|
|
2 |
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сума кутів сферичного трикутника відрізняється від суми кутів плоского |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
трикутника на ексцес-сферичний надлишок, який є невеликою величиною |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
A A1 |
|
A A1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
A A1 |
sin A1 , |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(A A1)sin A1 |
|
sin |
2 |
|
A1 ; |
A A1 |
|
|
sin A1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6R2 |
|
|
|
|
|
6R2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
Площа плоского трикутника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
P |
bcsin A1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A A1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Або: |
|
|
3R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3R2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(A A1) 3R2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
(B B1) |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C C1) |
p |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Додаючи всі рівняння одержимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(A B C) (A1 B1 C1) |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R2 |
(4.17) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(A B C) 180 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Таким чином: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P |
bcsin A1 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 sin A1sinC1 |
|
|
p |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
E |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
R2 |
|
|
2R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin B1 |
|
|
2R2 |
|
|
(4.18) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Шукані значення кутів плоского трикутника в кінцевому виді мають такий вигляд
A1 A |
|
E |
, |
|
|
||
|
|
|
|
||||
3 |
|
||||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
B1 B |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
(4.19) |
||||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
C1 C |
|
E |
|
|
|||
|
|
|
, |
|
|||
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Теорема Лежандра .Якщо сторони плоского і сферичного трикутників рівні, то кут плоского трикутника дорівнює відповідному куту сферичного трикутника зменшеного на третину сферичного надлишку.
Кути А1, В1, С1 називають плоскими приведеними кутами.
Більш точні формули: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A1 A |
|
|
|
E |
|
|
|
|
En |
|
(m |
2 |
a |
2 |
) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
60 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
En |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 B |
|
|
|
|
|
(m2 b2) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
En |
|
(m2 c2) |
|
(4.20) |
|||||||
C1 C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m2 |
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
|
|
|
nA |
nB |
nC |
|
||||||||
|
|
|
|
;n |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обернена величина радіусу кривизни в точці розраховується по формулі:
n |
|
|
1 |
,n |
|
1 |
,n |
|
|
1 |
; |
(4.21) |
|
R2 |
R2 |
|
R2 |
||||||||
|
B |
|
C |
|
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
A |
|
|
Замітка. Кути в тріангуляції 1 класу обчислюються до 0.001". Формулами (4.19) або (4.20) без останніх членів можна находити плоскі
приведені кути при довжині сторін до 200км (до 200км можна вважати, що сторони трикутника розташовані на сфері).В сферичні трикутники з сторонами більше 200км і сфероїдальні трикутники потрібно вводити поправки:
37
A1 A E En
3 60
B1 B E En
3 60
C1 C E En
3 60
(m2 a2) |
E |
* |
|
nA n |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
E |
|
n |
|
n |
|
|
|
|||
(m2 |
b2) |
|
|
* |
B |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
||||||
12 |
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
(m2 |
c2) |
|
|
E |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
* |
|
|
C |
|
|
|
, |
|||
12 |
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.2.Розв'язування сферичних трикутників по способу аддитаментів.
В теоремі Лежандра поправки вводились в кути. Можливо використовувати і сферичні кути з введенням поправок в сторони, Для сферичного трикутника А В С по теоремі сінусів запишемо:
sin b sin a *sin B ;
R R sin A
38
c/R a/R
A 
C b/R
Рис. 4.2 Принцип рішення сферичного трикутника по способу аддитаментів
Розкладаючи в ряд, і обмежуючись першим членом до четвертої степені, одержимо:
b |
b2 |
|
|
a |
a2 |
sinB |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
(4.23) |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
6R |
|
|
|
|
6R |
|
|
|
||||
R |
|
|
|
R |
|
sin A |
|
|
||||||
Введемо позначення;
|
|
Aa |
|
a3 |
ka |
3 |
;a ka |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
6R2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a ; |
(4.24) |
|||||||||||||||||||
Тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin |
B |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ; |
(4.25) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6R |
|
|
b |
|
||||||||||||||
|
|
sin A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6R |
|
|
|
||||||||||
Ab kb |
3 |
;b b |
Ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
(4.26) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ac kc |
;c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ac; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Де величини Аa,Аb,Аc називаються аддитаментами,
k 1 |
*R2,R |
MN; |
(4.27) |
16 |
|
|
|
R-середній радіус кривизни еліпсоїда для району розміщення трикутника. Таким чином, ідея способу аддитаментів, запропонованого I. Зольднером в
39
1820р. заключається в тому, що сторони сферичного трикутника а, b, с виправляють поправками, в результаті чого одержують сторони плоского трикутника а', b', с' і невідомі сторони плоского трикутника.
Порядок обчислення.
1 .Із вихідної сторони b віднімають її аддитамент Аb і одержують сторону плоского трикутника b'.
2.За відомими кутами сферичного трикутника і стороною b' розв'язують трикутник як плоский, використовуючи теорему сінусів і знаходять решту сторін плоского трикутника а' і c .
3.Одержані значення сторін виправляють їх аддитаментами Аа, Ас і знаходять шукані сторони сферичного трикутника АВС.
Спосіб аддитаментів застосовується як контрольний при рішенні трикутників за теоремою Лежандра.
Для України можна прийняти:
k 1 409*10 11. 6R2
РОЗДІЛ 4.
Лекція №5. Дослідження кривих на еліпсоїді обертання 5.1.Поняття про взаємні нормальні перерізи.
1. Співвідношення між довжиною дуги кола б і довжиною дуги нормального перерізу S.
Переріз земного еліпсоїда площиною, що проходять через нормаль до його поверхні в даній точці називається нормальним перерізом.
P
P1
Рис.5.1. Довжини дуги коли і нормального перерізу.
Якщо на поверхні еліпсоїда візьмемо точки А і В з широтами В1 і В2, то
40