Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович
В = 0,00506237764 (3.17) С = 0,00001062451
Для обчислення S в тріангуляції
S 40км,
тоді |
S Mm |
B |
, |
(3.18) |
|
||||
|
|
p |
|
|
де S представляє довжину дуги кола, а радіус буде дорівнювати радіусу меридіана Мm в точці із середньою широтою Вm
B |
B1 B2 |
, |
(3.19) |
|
|
||||
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mm |
a(1 e2) |
(3.20) |
||
(1 e2 sin2 Bm)3 2 |
||||
Вищезгаданий інтеграл можна розв'язати чисельним методом, застосовуючи формулу Сімпсона:
S |
1 |
|
B |
(M1 4Mm M |
2 ) . |
(3.21) |
|
|
|||||
6 |
|
p |
|
|
||
При відстанях між пунктами до 500 км формула (3.21) забезпечує точність обчислення 1-2 см.
3.3. Обчислення довжини дуги паралелі. Паралель на еліпсоїді є коло радіус якого
r = N cosB (3.22)
Довжина дуги паралелі Sn між довготами L1 i L2 буде дорівнювати добутку радіуса паралелі на відповідний центральний кут dl.
Sпаралелі |
r |
(L2 L1) |
N cosB |
(L2 |
L1) |
(3.23) |
|
|
p |
||||
|
|
p |
|
|||
26
Рис. 3.3. Довжина дуги паралелі
3.4. Обчислення площ знімальних трапецій.
Знімальна трапеція - це ділянка поверхні земного еліпсоїда, обмежена лініями меридіанів та паралелей, що визначається номенклатурою листів топографічної карти.
Обчислення площі знімальної трапеції або листа карти зводиться до визначення площі частини поверхні еліпсоїда, обмеженої лініями меридіанів і паралелей.
|
Нехай АВСО |
- |
нескінченно мала |
трапеції |
на еліпсоїді. |
елементи дуг меридіанів |
Сторони- |
|
|
AB = CD = MdB, |
|
елементи дуг паралелей |
|
Рис.3.4. Площа знімальної |
AD = BC = NcosBdl |
трапеції |
|
27
У системі геодезичних координат В, L площа нескінченно малої трапеції, обмеженої паралелями з широтою В і В + dВ і меридіанами з різницею довгот
dL, виражається формулою |
|
|
|
dP = MNcosBdBdL , |
(3.24) |
|
|
де dL - різниця довгот. |
|
|
|
Площа конечної трапеції, обмеженої широтами В2 і В1 |
і довготами L2 i L1, |
||
виразиться подвійним інтегралом. |
|
|
|
B2 L2 |
|
|
|
P MNcosBdBdL |
(3.25) |
|
|
B1 L1 |
|
|
|
Виконуючи інтегрування за L, одержимо |
|
||
P b2(L |
B2 |
|
|
L ) (1 e2 sin2 B) 2 cosBdB |
(3.26) |
||
2 |
1 |
|
|
|
B1 |
|
|
Інтеграл у правій частині формули (3.26) виражається в елементарних функціях, однак для одержання більш зручної для обчислень робочої формули, підінтегральний вираз розкладають у ряд за степенями е2 і інтегрують почленно. В результаті одержують формулу:
P |
2b2 |
(L2 L1) |
"[A sin |
1 |
(B2 |
B1)cosBm |
B sin |
3 |
(B2 |
B1)cos3Bm |
|
|
p |
|
2 |
2 |
|||||||
5
c sin 2(B2 B1)cos5Bm (3.27)
в якій коефіцієнти А', В', С' і т.п. є відомими функціями ексцентриситету угіпсоїда. Для еліпсоїда Красовського
А' = 1,003364 ; В' = 1,1240 • 10-3 ; C = 1,699 • 10-6. b = 6356,86301877 км.
При обчисленні площі з точністю до 0,01 км2. У більшості випадків можна в формулі (3.27) обмежитись членами з коефіцієнтами тільки А' і В'.
З відносною похибкою, яка не перевищує 2 • 10-5, площу трапеції можна для контролю розрахувати за формулою
Р = 75456,8(L2-L1)o[arcsin(KsinB2)-arcsin(KsinB1)], (3.28) де К= 0,163133.
Формула (3.28) одержана наближеною апроксимацією інтеграла (3.26) aналітичним виразом, в який входить параметр К, і визначенням числового значення цього параметра з відомою площею поверхні еліпсоїда Красовського, розрахованою за точною формулою.
Якщо задана номенклатура трапеції, площу якої необхідно обчислити, то перш за все необхідно визначити геодезичні координати В і L її вершин. Для
28
цього спочатку з допомогою бланкової номенклатури карти знаходять координати вершин трапеції масштабу 1:1000000, а потім за стандартною процедурою (шляхом ділення масштабів) геодезичні координати вершин заданої певним масштабом трапеції.
3.5. Розрахунок рамок знімальної трапеції.
Одержані раніше формули дозволяють легко знайти вирази для розмірів рамок знімальних трапецій.
Нехай ми маємо знімальну трапецію масштабу 1/m з широтою південної паралелі В1 північної В2 і різницею довгот західного і східного меридіанів трапеції 1 (див. рис. 3.5).
Очевидно, що західні та східні рамки трапеції рівні і представляють собою дуги меридіанів між паралелями з широтами B1 і В2. Тому
Рис.3.5. Знімальна трапеція
AB CD c B M , (3.39) p
де В = В2 – В1
Північна і південна рамки є дугами паралелей, які мають широти В2 і В1
тому
29
BC a1 |
|
l cosB1 N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
l cosB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||
AD a2 |
|
|
2 |
|
|
|
(3.30) |
|||
|
p |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d a a |
2 |
c2 |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для одержання розмірів рамок в заданому масштабі необхідно знайдені величини розділити на знаменник масштабу, а для одержання розмірів сторін трапеції в сантиметрах необхідно помножити на 100.
Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.
(3.31)
3.6. Деякі контрольні співвідношення при розрахунку розмірів рамок знімальної трапеції.
Для графічного контролю побудови знімальної трапеції використовують формулу розрахунку діагоналі d.
Однак, має сенс одержати контрольні формули при розрахунку рамок трапеції. Приймаючи до уваги рівність кутів, утворених паралельними прямими
діагоналлю d на основі теореми косінусів запишемо. |
|
||
Рис. 3.6. Знімальна трапеція |
|
||
c2 |
= a12 + d2 |
– 2 a1 d cos |
(3.32) |
c2 |
= a22 + d2 |
– 2 a2 d cos |
(3.33) |
Представим дані вирази у слідуючому вигляді |
|
||
2 a1 d cos = a12 + d2 – c2 |
(3.34) |
||
2 a2 d cos = a22 + d2 – c2 |
(3.35) |
||
30