Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

X		acosBcosL


		1 e2 sin2 B
Y	acosBsin L		(2.24)


		1 e2 sin2 B

Za(1 e2)sin B

1 e2 sin2 B

Сфероїдальна геодезія Розділ 2.

Лекція 3. Обчислення довжини дуги меридіана, паралелі і площі знімальної трапеції

3.1. Головні радіуси кривизни в даній точці еліпсоїда.

Рис. 3.1. Головні нормальні перерізи в точці М.

На меридіанному перерізі точки М проведемо нормаль. Через нормаль можна провести безліч площин. Вони називаються нормальними площинами.

Криві, що утворені від перерізів нормальних площин, проведених в даній точці з поверхнею еліпсоїда називаються нормальними перерізами.

В кожній точці еліпсоїда існує два взаємно перпендикулярних нормальних перерізи, кривизна одного з них є максимальною, а другого - мінімальною. Ці нормальні перерізи називаються головними нормальними перерізами:

-меридіональний переріз РМКР1Е являє собою еліпс в точці М;

-переріз першого вертикала, що проходить через точку М і перпендикулярний до меридіонального перерізу точки М являє криву-еліпс

W MW

Існує зв'язок між кривизною і радіусом кривизни. Обернене значення кривизни є радіус кривизни.

Знайдемо радіус кривизни меридіанного перерізу.

Відомо, що радіус кривизни плоскої кривої y = f (x) визначається фрмулою:

		dy	2 3 2
	1	dy
					2	3 2
		dx			2	3 2
R				1 y			(3.1)
R		d2y		1 y			(3.1)
		d2y		y

dx2

Із геометричного трактування похідної (див. рис. 3.1.) маємо

dy y tg(90o B) ctgB dx

Тоді, y	1	dB	.	(3.2)

sin2 B		dx

Для визначення похідної — використаємо формулу (2.20) x = a cosB (1-e2sin2B)-1/2 ,

Тоді

dx = a {-sinB (1-e2sin2B)-1/2 – ½ (1-e2sin2B)-3/2 (-2e2sinBcos2B)}dB,

dx	a sin B(1 e2 sin2 B) 1/2				e2 sin Bcos2 B (1 e2 sin2 B) 3/2
	a sin B(1 e2 sin2 B) 1/2				e2 sin Bcos2 B (1 e2 sin2 B) 3/2
dB
asinB(1 e2 sin2 B) 3/2 { (1 e2 sin2 B) e2 cos2 B},
або
		dx	asinB(1 e2 sin2		B) 3/2(1 e2),
		dB	asinB(1 e2 sin2		B) 3/2(1 e2),
		dB		1 e2 sin2 B 3/2
		dB		1 e2 sin2 B 3/2
				.	(3.3)
		dx		.	(3.3)
		dx		asinB(1 e2)

Враховуючи (3.3), формула (3.2) має вигляд:

y		(1 e2 sin2)3/2		(1 e2 sin2 B)3/2
	sin2 B a sinB(1 e2)		a sin3 B(1 e2) .

Підставимо в (3.1) значення у' і у" та введемо позначення радіуса кривизни меридіана через М:

(1 ctg2B)3/2

a sin3 B (1 e2)

(1 e2

sin2 B)3/2

Вираз (1 ctg

3/2

sin3

sin2

a (1 e2)

(3.4)

(1 e2 sin2 B)3/2

При В = 90° радіус кривизни (позначається як с) залежить тільки від елементів еліпсоїда:

1 e2

(3.5)

1 e2

с- полярний радіус кривизни.

Введемо функції

1 e2 sin2 B

(3.6)

cos

B ,

(3.7)

1 e

які називаються основними сфероїдальними функціями.

Враховуючи формули (3.5), (3.6), (3.7), а також очевидну залежність

W V

1 e2

(3.8)

Так як

cos2

1 e2 e2 cos2 B

1 e2 sin2 B

1 e2

бо 1+е2(cos2B – 1) = 1+e2B – sin2B – cos2B) = 1-e2sin2B ,

a(1 e2)

(3.9)

Для визначення радіуса кривизни першого вертикалу N сформулюємо слідуючу теорему.

Теорема Меньє. Якщо через точку до поверхні провести нормальний і похилий переріз і якщо в цій точці перерізи мають спільну дотичну, то радіус кривизни похилого перерізу дорівнює радіусу кривизни нормального перерізу помноженого на косинус кута між площинами цих двох перерізів.

Якщо WMW - нормальний переріз, то паралель MQS1 - похилий переріз, оскільки нормаль не лежить в площині цього перерізу. Вказані два перерізи в гочці М мають спільну дотичну МТ.

Тоді радіус паралелі r :

r = N cosB = MC (3.10)

Враховуючи формулу (2.22), одержим

acosB

NcosB

1 e2 sin2 B

Звідки N

(3.11)

1 e2 sin

або по аналогії з (3.9)

(3.12)

Формула (3.11) переходить у формулу (3.5) при значенні В = 90°, як і формула (3.4), тобто на полюсі М = N = 0.

Для радіуса кривизни нормального перерізу, проведеного під азимутом А, служить формула Ейлера:


PA			M N	(3.13)
	N cos2 A M sin2 A
Середній радіус кривизни R
R
		MN		(3.14)

3.2. Обчислення довжини дуги меридіана.

Рис. 3.2. Дуга меридіана.

Нехай точка А на меридіональному еліпсі має широту В. На безконечномалій віддалі ds від точки А візьмемо точку A1, яка має широту B + dB. Різниця широт точок A i A1 відповідає довжині дуги меридіана ds.

Розглянемо елементи дуги ds меридіана з радіусом М, одержимо ds = MdB,

		a(1 e2)
або	ds		dB .


		(1 e2 sin2 B)3

Довжина дуги між точками, які мають широти В1 і В2, буде дорівнювати

S	B2	a(1 e2)	dB a(1 e	2	B2		dB
					)			(3.15)
		(1 e2 sin2 B)3 2			)	W3		(3.15)
	B1	(1 e2 sin2 B)3 2			B1	W3

Таким чином, обчислення довжини дуги меридіана зводиться до знаходження еліптичного інтеграла.

					1
Розкладаючи підінтегральну функцію							в ряд за біномом Ньютона
Розкладаючи підінтегральну функцію						W3	в ряд за біномом Ньютона
І інтегруючи одержаний вираз з потрібною степінню точності,
одержим:	B	B	B					c
	B	B	B					c
S a(1 e2) A	2	1		(sin2B2	sin2B1)				(sin4B2	sin4B1)
S a(1 e2) A			2	(sin2B2	sin2B1)			4	(sin4B2	sin4B1)
		p	2					4
(3.16)

Для еліпсоїда Красовського А = 1,0050517739

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)