Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович

Сфероїдальна геодезія Розділ 1.

Лекція 2. Основні формули та співвідношення на поверхні земного еліпсоїда

2.1. Параметри земного еліпсоїда, зв'язки між ними.

Поверхня еліпсоїда утворюється від обертання еліпса навколо його малої (полярної) осі.

Еліпс визначається розмірами його великої а і малої b півосей. За розмірами півосей можна знайти положення фокусів F1 i F2 .

Першим ексцентриситетом еліпса е буде величина:

тобто, ексцентриситет є відношення фокусної відстані до великої півосі; другий ексцентриситет е

11

Всі лінійні і відносні величини еліпса називаються елементами еліпса. Вони також відносятьсь і до еліпсоїда обертання. Параметри є а – велика (екваторіальна) піввісь еліпсоїда або а і . Вони визначають еліпсоїд обертання. Величини е2 і е’2 є похідними.

12

Формули (2.9) і (2.11) дають співвідношення між е і е'.

2.Залежність між е і a

3.З формули (2.4) запишемо

Підставляючи даний вираз в попередній, одержим

1 e2 1

і1 e2 1 2 2 ,

Формула (2.13) дає залежність між е і . Нехтуючи помилкою квадрату нення, одержимо:

Для наближених розрахунків приймають

а = 6400 км; а-b = 21 км; а = 1:300; е2 = 1:150; е'2 = 1:600.

Відомо ряд еліпсоїдів, параметри яких визначались в різних регіонах Землі названих в честь видатних вчених: Бесселя, Кларка, Хейфорда, Красовського.

Для еліпсоїда Красовського, що має ще застосування в геодезичних висотах в Україні прийняті параметри:

а = 6378245 м, =1:298,3. Тоді b = 6356863,01877;= 0,003352329869; е2 = 0,006693421623;

e 2= 0,006738525415.

13

2.2. Системи координат, які застосовуються у вищій геодезії.

1. Система геодезичних координат B, L, H.

Універсальна система координат, єдина для всієї Землі, не вимагає додаткових побудов, визначає положення нормалей.

Рис.2.2. Система геодезичних координат В,Ь,Н.

Точки на поверхні еліпсоїда можна визначити геодезичною довготою L - двогранним кутом між площиною початкового меридіана (Грінвічського) і меридіана, який проходить через задану точку М'. Геодезична довгота вимірюється від 0° до 180° і буває східна і західна.

Меридіан - це січення поверхні еліпсоїда площиною, яка проходить через полярну вісь обертання Землі. Всі точки на ньому мають одинакову довготу.

Паралель - це лінія перетину поверхні еліпсоїда площиною, що перпендикулярна до осі обертання його. Паралель є лінією рівних широт. Площина екватора проходить через центр еліпсоїда О, перпендикулярно до осі його обертання.

Геодезичною широтою називають кут, утворений нормаллю до поверхні земного еліпсоїда в даній точці і площиною його екватора. Широти відраховуються на північ і південь від екватора від 0° до 90°.

Геодезичною висотою Н точки М, розташованої на фізичній поверхні Землі, називається віддаль по нормалі від цієї точки до її проекції на поверхню земного еліпсоїда.

Астрономічні координати складаються із астрономічної широти - кута,

14

твореного прямовисною лінією в даній точці і площиною, перпендикулярною до осі обертання Землі. Вона визначається із астрономічних спостережень.

Астрономічна довгота - двогранний кут між площинами початкового астрономічного меридіана Грінвіча до меридіана даної точки.

Ортометрична висота - висота точки над поверхнею геоїда. Вона може бути вирахувана тільки при знанні будови земної кори.

Географічні координати – це узагальнене поняття про астрономічні і геодезичні координати, коли відхилення прямовисних ліній не враховують.

2. Система прямокутних просторових координат X, Y, Z.

Її початок знаходиться в центрі земного еліпсоїда, а осі Х і У - в площині кватора, при цьму Х - в площині початкового меридіана, а У -перпендикулярна до неї. Вісь Z проходить вздовж полярної осі.

Р1 Y

Рис. 2.3. Система прямокутних просторових координат XYZ.

X = M1M2 Y = OM2 Z = M1M

Система X, Y, Z. застосовується в теоретичній геодезії і для розв'язання задач космічної геодезії.

3. Система геоцентричних координат

Площина меридіанного еліпса

15