Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович
Із рис. 5.8. запишем:
MdB dScosA
rdl dSsin A |
; (5.10) |
|
|
Тоді: |
|
cosA M |
dB |
|
||
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
dS |
|
|
|
|
; (5.11) |
||
|
dl |
|
|
|
sin A r |
|
|||
|
dS |
|
||
Помножим верхнє рівняння на drA |
|
|||
drAcosA Mr dBdA dS
; (5.12)
Проведем геодезичну паралель в точці В'.
A dA A E dA E
A E 90o 90o A E
Запишем формулу косинуса елемента для прямокутного трикутника, що дорівнює добутку котангенсів двох інших елементів суміжних з ним.
cos 90o B dB ctgdl ctg 90o dA E
Тоді:
sin B dB ctgdl tg dA E
tg dA E tgdl sin B dB ; 5.13
dА і dl малі величини, що дає можливість розкласти тангенс в ряд і обмежитись першим членом розкладу. Крім того dBdl величина другого порядку малості, а Е—це добуток двох сторін на сінус кута між ними (MdB rdl)
Тоді: |
|
dA = dl sinB ; |
(5.14) |
Підставляючи (5.14) у праву частину (5.12), одержим:
r dA cosA M r dB dl sinB
dS
; (5.15)
Помножим ліву і праву частину другого виразу (5,15) на dr
dr sin A r dr dl dS
Підставим (5.8) у праву частину
46
dr sin A r |
dl |
M dB sin B ; |
(5.1б) |
|
|||
|
dS |
|
|
Додамо ліві частини (5.15) і (5.16) |
|
||
r cos A dA dr sin A 0 ; |
(5.17) |
||
Це повний диференціал, інтеграл якого дорівнює r sinA = C (5.18) Теорема доказана.
Представим через функцію приведеної шнроти
r x a cosи
y b sinи |
; |
(5.19) |
|
|
|
Тоді: |
|
|
a cosи sin A C; |
|
(5.20) |
Якщо маємо ряд точок |
|
|
acosи1sin A1 acosи2 sin A2 ... C |
|
cosи1sin A1 cosи2 sin A2 const |
; (5.21) |
|
|
Для геодезичної лінії на поверхні еліпсоїда обертання добуток косинуса приведеної широти точки геодезичної лінії на сінус азимута геодезичної лінії в тій же точці є величина постійна.
В загальному вигляді диференційне рівняння геодезичної лінії є рівняння Ейлера для варіаційної проблеми найкоротшої відстані між двома точками.
dA tgB cos A dS N
;(5.22)
Лекція №6. Перехід від нормального перерізу до геодезичної лінії
6.1.Визначення лінійіого розходження між взаємними нормальними перерізами
На еліпсоїді маємо два нормальні перерізи в точці А-прямий АаВnа і обернений АвВnв, В точці А радіусом 1 проведемо сферичний трикутник Між взаємними нормальними перерізами утворюється кут f і винесем
лінійний елемент.
47
Рис.6.1.Нормальні перерізи і лінійні елементи nа, nb-нормалі. За теоремою сінусів запишем
sin f sin(360o A21) sin
48
Знайдемо sіnE i після деяких перетворень одержимо.
f |
1 |
e2 cos2 B |
sin2A p |
; |
(6 1) |
|
|||||
|
2 |
m |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
По формулі (6.1) роараховуеться кут між взаємними нормальними перерізами, ребром якого є хорда АВ. Формула (6.1) приведена без виводу. Центральний кут AnaB=б буде
S 2 S N |
(6.2) |
Задаючись довжиною геодезичної лінії S = 100 км при Вm = А12 =45 і N = 6000 км одержимо б = 1/6. Тоді
f 6
Дня сторін тріангуляції f-2”:3”
Визначим лінійне розходження між взаємними нормальними перерізами і його максимальне значення.
Відмітим, що кут ВАna=90-б/2.Візьмемо посередині прямого нормального перерізу точку К. Провeдемо хорду АК. Кут КАna буде дорівнювати
90o
2
Тоді, очевидно кут КАВ-(б- )/2 Через точку К проведем площину перпендикулярну до двох взаємних
нормальних перерізів, яка в перетині дасть точки К1 і К2. Аna=N1 є радіус кривизни першого вертикала.
Із трикутника КАna запишем
AK 2N sin |
|
(6.3) |
|
2 |
|||
1 |
|
Таким чином довжина дуги хорди дорівнює двом радіусам помноженим на сінус половинного центрального кута. Із трикутника КАК1 запишем:
KK1 AKsin
2
Приймаючи до уваги, що дуга КК2=:КК1f ; одержим
KK2 d 2N1sin |
|
sin |
|
|
1 |
e2 cos2 Bmsin2A |
|
(6.4) |
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin Q/2 розкладем в ряд по малості кута О і першим членом розкладу.
49
sin x x x3 ...
6
Одержим
d |
N1 |
e2 б cos2 B |
sin2A (б ); (6.5) |
|
|||
|
4 |
m |
12 |
|
|
|
Якщо
б
2
Одержим найбільше значення d, тоді по середині буде
2 |
; |
d |
|
|
N1 |
e2б2 cos2 B |
sin2A ; |
(6.6) |
||||
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
max |
16 |
|
m |
12 |
|
|
||||
Приведем таблицю максимальних розходжень d. |
|
|
||||||||||
Таблиця 6.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S, км |
|
|
|
200 |
|
100 |
|
50 |
|
|
|
d max ,(м) |
|
|
|
0.05 |
|
0.006 |
|
0.0008 |
||
|
|
d max, (м) |
|
|
|
5см |
|
6см |
|
0.8см |
||
Таким чином, лінійне розходження є величина невелика.
аS1
Рис.6.2.Геодезична лінія і нормальні перерізи. Запишемо без виводу:
D S S |
|
a e4 |
sin |
2 A |
cos4 B б5 |
; (6.7) |
|
|
|||||||
s |
1 |
360 |
|
12 |
m |
|
|
При S = 600 км, Ds = 1:135000.
50