Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович
3)великі віддалі - до 5000 км.
4)дуже валикі -до 19000 км.
7.2. Розв'язання головних геодезичних задач безпосереднім шляхом Безпосередній шлях розв'язання головної геодезичної задачі полягає в
розв'язанні сфероїдального трикутника АРВ (рис 7.1.).
Відомі дві сторони: АР = 90°- В1; АВ = S і кут між ними А12. З розв'язання трикутника визначають три інші елементи: ВР = 90°- В2; (360-А21), тобто A21; різницю довгот 1 пунктів А і В, по якій знаходять довготу точки В, тобто L2 L1l 1
При розв'язанні оберненої геодезичної задачі відомі три елементи В1, B2 і L розві'язуючи трикутник, знаходять кути РАВ =А12, РВА = 360 - А21, і сторону АВ = S. Безпосереднім шляхом проводять розв'язання прямої і оберненої головної геодезичної задачі на великі відстані. Є декілька способів розв'язання. Широке примінення знайшов спосіб Бесселя. В даному способі користуються приведеною широтою U. Від елементів сфероїдального трикутника переходять до елементів сферичного трикутника. Перехід на кулю запропонував Бессель розв'язуючи сферичний трикутник знову переходять до еліпсоїда.
Перехід до приведеної широти виконують по формулі
ttgU |
1 e2tgB |
(7.1) |
При Бесселевому зображенні еліпсоїда на кулі мають місце такі співвідношення і відповідності між сфероїдальним трикутником АРВ і сферичним А1Р'В1.
1.Сторони АР і ВР є доповненням до 90° точок А і В еліпсоїда.
2.Геодезична лінія 5 на еліпсоїді між точками А і В відповідає на кулі дузі великого кола а між точками А1 і В1, на якій в кожній її точці азимути дорівнюють азимутам геодезичної лінії у відповідних точках еліпсоїда.
|
і |
|
|
Внаслідок цього PAB P A1B1 |
ABP A1B1P |
, APB A1P B1 |
Порядок розв'язування задач.
Маючи U1 знаходять U2і розраховують В2. Вся трудність заключаеться в знаходженні різниці довгот і різниці азимутів. Необхідно знайти співвідношення між S i ,l i w сферчною різницею довгот.
Порядок одержання формул,
1.Встановлення зв'язку між S і , l і w - вибір диференційних рівнянь.
2.Інтегрування цих диференційних рівнянь.
3.Розв'язування трикутника на кулі відповідно до умов прямої і оберненої задачі.
4.Остаточне визначення потрібних величин.
7.3. Посередній шлях розв'язання головної геодезичної задачі. Полягає у виводі різниці широт, довгот та азимутів даного пункту і визначаємого Загальні риси розв'язку.
56
розв'язуючи систему диференційних рівнянь геодезичної лінії
dB |
|
V |
3 |
cos A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
dS |
|
C |
|
|
|
|||
dl |
V |
secBsin A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, |
(7.2) |
||
|
|
|
|
|||||
dS |
C |
|
|
dL |
|
|
||
dA |
V |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tgBsin A |
|
sin B |
|
|
|
C |
dS |
|
|||||
dS |
|
|
|
|
||||
після інтегрування одержимо
B |
B s |
|
V3 |
cos AdS |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
0 |
|
C |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
s |
V |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
L2 L1 |
|
|
secBsin AdS |
, |
(7.3) |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||
|
|
180o |
s |
V |
|
|
|
||||
A |
A |
|
tgBsin AdS |
|
|||||||
|
|
||||||||||
21 |
12 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Формули (7.3) дають в загальному вигляді розв'язання прямої геодезичної задачі.
При розв'язку задач необхідним є використання рядів з перенесенням елементів сфероїдального трикутника на сферу, розв'язком задачі на ній і зворотним переходом на поверхню еліпсоїда. Так проводять розв'язок головної задачі на великі віддалі.
При розв'язку головної геодезичної задачі на малі віддалі слід застосовувати посередній шлях розв'язку задачі і використовувати ряди за зростаючими степенями S.
Широко використовуються слідуючі методи:
1)по формулам із середніми аргументами;
2)по способу допоміжної точки (спосіб Шрейбера)
3)при використанні допоміжної сфери (спосіб Бесселя);
4)в просторовій системі координат (спосіб Молоденського);
5)методом чисельного інтегрування (Рунге-Кутта); та інші. 7.4. Порядок розв'язання прямої геодезичної задачі по способу
допоміжної точки С.
57
Рис. 7.2. Сфероїдальний трикутник АРВ.
Розглянемо трикутник АРВ на поверхні реперенц-еліпсоїда. З точки В проведемо пряму лінію на меридіан таким чином, щоб був утворений прямий кут.
Порядок дій.
1)Розв'язують сферичний допоміжний трикутник АСВ по теоремі Лежандра.
2)Одержують різниці широт між пунктом С і пунктом А.
3)Одержують різниці довгот між точкою В і С.
4)Розраховують широту точки В
5)Знаходять обернений азимут А21
Сторони допоміжного трикутника АСВ знаходять по формулам (дані виводу)
|
1 |
|
|
V2V4 |
|
|
|||
AC U 1 |
|
|
|
|
1 |
|
(7.4) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
3a2(1 e2) |
|
|||||||
|
1 |
|
U2W4 |
|
|
|
|||
BC V 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(7.5) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 a2(1 e2) |
|
||||||
U S cos A12;V S sin A12 |
(7.6) |
||||||||
Різниця широт між пунктами С і А
58
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 V2W |
4 |
|
|
|
3 UW e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
b U |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
sin2B |
|
|
|
p (7.7) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a2(1 e2) |
|
|
|
4 a(1 e2) |
|
|
1 |
|
|
M1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
B0 B1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Різниця довгот 1 між точкою В і С розраховується по формулі |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
l |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.9) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
,L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
cos0 ; |
V0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cosB0; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V1 ; |
V0 1 e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
V2; |
|
|
|
|
|||
v v0 1 |
|
0 |
|
;U |
0 |
|
cos A ; |
|
V sin A ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
c |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V1 |
|
|
1 e 2 cos2 |
B1; |
sin B0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Широта точки В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
B2 B0 d , |
|
|
|
|
|
|
|
(7.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
d 2 |
|
|
|
(1 |
12)V0 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
;t (1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Обернений азимут А2 є
A2 A1 180o (t ) ; UV ;
2
7.5.Необхідна точність обчислень геодезичних координат Приймемо до уваги середню квадратичну похибку обчислення координат наступної сторони
m |
S |
12см , |
(7.11) |
|
sin60o |
||||
|
|
|
де S - довжина сторони; - середня квадратична похибка вимірювання кута. Для першого класу тріангуляції = 0,7". Взявши р"= 206264,8”; при S= 20 - 25 або ЗО км, одержим m = 12 см.
Похибки в обчисленнях повинні бути в 10 раз менші ніж польові виміри. Значить, обчислення необхідно виконувати з точністю m = ±1см. Похибка в широті на 1 см дає В" 0,0003", а в довготу L 0,0003"secВ.
Таким чином, широти і довготи необхідно обчислювати з точністю доb десятитисячної долі секунди.
Дослідим, яку кількість знаків необхідно враховувати при обчисленнях. Візьмем S = ЗО км. Для (В2 – В1)" 1000" похибка Nбуде
59
|
N |
|
0,0001 |
|
10 4 |
10 7. |
|
N |
|
|
|||
|
1000 103 |
|
||||
Якщо продиференціювати, одержимо |
||||||
lgN |
dN |
0,4 10 7 |
4 10 8, |
(7.12) |
|
||||
|
N |
|
|
|
при забезпеченні точності N= 0,0001". |
|
|||
Таким чином, необхідно користуватися восьми значними таблицями логарифмів.
У виразі (7.12) - модуль переходу від натуральних до десятичних логарифмів.
Лекція №8. Розв'язок головної задачі за формулами із середніми аргументами.
8.1 Пряма геодезична задача
|
|
|
P |
|
B |
ctdr |
|
|
-dr |
|
|
A |
d |
r |
|
|
N |
|
|
|
|
B |
O |
Рис. 8.1. Геодезична лінія AB=S
Відомі параметри; B1, L1, A12, S
Шукані величчинибудуть функціє геодезичної лінії
B2 f1 |
S |
|
|
|
|
|
(8.1) |
L2 f2 S ; |
|||
A f |
|
|
|
3 |
S |
|
|
21 |
|
|
|
Формули (3.1) віднесемо до початкової точки.
60