Материал: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович

Формула (14.4) встановлює геодезичну довготу вихідного пункту. Справедлива, якщо вісі паралельні і меридіани паралельні. За формулою (14.2) встановлюють ВО, за формулою (14.4) встановлюють LO.

Лекція № 15. Встановлення співвідношень між астрономічним і геодезичним азимутом

15.1. Встановлення співвідношень між спостереженим астрономічним азимутом а01 у вертикальній площині, в якій знаходиться пункт Р1 і геодезичним азимутом А01 нормальної площини того ж пункту Р1.

Рис 15.1 Додатковий рисунок

Відносне відхилення виска дуга Zza = u0. Геодезичний азимут А01 = + R. Астрономічний азимут а01 = 1+ R1. Тоді А01а01 = - 1 + R – R1.

Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох других кутів, взятих з протилежним знаком плюс добуток синусів тих же кутів на косинус сторони між ними.

Для трикутника ZZap:

-cos 1 = - cos cos l + sin sin l sin B0 .

Ліва частина даного виразу є величиною порядку 1.

106

1

2

Зврахуванням формули:

cos cos 2sin sin 2 2

sin 1 1( 1 ) 2 2

sin ( 1 ) lsin sin 0

Із врахуванням (14.4)

- 1 = - l sin 0 = - ( 0 -L0 ) sin 0 = - 0 tg 0 ;

Таким чином

- 1 = - ( 0 - L0) sin 0 = - 0tg 0; (15.1)

Із сферичного трикутника ZZap 1 таким же шляхом знайдемо:

R – R1 = - q cosZ01; (15.2)

де Z? – астрономічна зенітна віддаль на спостерігаємий предмет. По теоремі синусів

sin qsinZ01 sinu0 sin R

sin sinu0 sin R sinZ01

В тріангуляції зенітні віддалі близькі до 90 , q такого ж порядку, як і R – R1:

R R1 u0 sin R1 ctgZ01

R R1 u0 sin 01 1 ctgZ01

R R1 u0 sin 1 cos 01 u0 sin 01 cos 1 ctgZ01

Із трикутника ZZaZ1:

0 u0 cos 1; 15.40 u0 sin 1; 15.5

Тоді:

R R1 0 cos 01 0 sin 01 ctgZ01

A01 01 0tg 0 0 cos 01 0 sin 01 ctgZ01 15.6

107

Всі величини в правій частині формули (15.6) відомі. Формула (15.6) встановлює геодезичний азимут нормальної площини, в якій знаходиться спостерігає мий предмет, якщо мала вісь паралельна вісі обертання Землі.

Таким чином, задаючись елементами еліпсоїда а і , величинами 0 і 0 і, визначивши В0, L0 за формулами:

B0 0 0; 15.7

L0 0 0 sec 0; 15.8

І А01 за формулою (15.6), розташуємо малу вісь референц-еліпсоїда паралельно до осі обертання Землі і площину початкового геодезичного меридіана паралельно площині початкового астрономічного меридіана, томі що лише при цьому справедливі формули (15.6), (15.7) і (15.8) одержуємо початкову умову. При цьому геодезична висота НО залишається до довільною. Введення декартової системи XOYZ може бути визначене малими кутами повороту Ex, Ey, Ez. Кутом повороту відносно осі x є Ex…В нашому випадку, згідно наших умов Ex= 0, Ey=0, Ez=0. Таким чином, за вихідні параметри можна прийняти: а; ; 0; 0; Н0; Ex= 0, Ey=0, Ez=0.

Як незалежні параметри координатної системи можна розглядати ВО і LO, а не 0 і 0, тоді

0 0 B0; 15.9

0 0 L0 cos 0; 15.10

ВО, LO, НО є геодезичними координатами вихідного пункту тріангуляції і разом з АО – геодезичним азимутом називаються вихідними геодезичними датами.

В простішому випадку вихідні геодезичні дати встановлюються так: приймають 0=0, 0=0 в вихідному пункті, визначають φ0, λ0, 01 і приймають ВО= φ0; L0=λ0; А01= 0. НО є довільним. Це і є орієнтуванням по астрономічним даним в вихідному пункті.

15.5Зв’язок між астрономічними і геодезичними широтами, довготами

іазимутами, відхилення виска.

Якщо виконуються умови орієнтування референц-еліпсоїда в тілі Землі, то на кожному тріангуляційному пункті повинно:

φ – В = ;

λ – L = sec φ:

A = - tg φ + ( cos - sin ) ctg Z:

де φ, λ, - астрономічні координати і азимути спостереження; В, L – геодезичні координати визначені;

А– геодезичний азимут напрямку.

З(15.11) виходить, що, якщо відомі В і L пункту, а з астрономічних

спостережень отримують φ і λ, то для нього визначають складові і :

108

= φ – В;

= (λ – L) cos φ (15.12)

Тому і називають астрономо-геодезичним відхиленням виска.

Рис 15.2 Паралактичний трикутник

р – полюс світу на кулі одиничного радіуса, Zа – астрономічний зеніт, ? – геодезичний азимут площини, в якій проходить відхилення виска.

З прямокутного трикутника ZZaZ1, який можна розглядати як плоский:

tg 90

tg L cos ; 15.13

За формулою (15.13) знаходять азимут площини, в якій находиться відхилення виска.

u 2 2 B 2 L 2 cos2 ; 15.14

За формулою (15.14) знаходять відхилення виска u.

15.3. Залежність між астрономічною і геодезичною зенітною віддаллю.

Рис 15.3 Трикутник на допоміжній одиничній сфері навколо пункта

109