Материал: ОиММПР. Лекция 3
При t2-t1=0 корреляционная функция случайного процесса равна его дисперсии K(0)=Dx=const. Интервал времени τ =τкор , за пределами которого корреляционная функция Kx( ) не превосходит некоторую малую (0,05-0,1)Dx величину, называют интервалом корреляции процесса
К стационарным процессам в узком смысле относятся процессы, у которых сама n-мерная плотность распределения вероятностей инвариантна к временному сдвигу τ :
w(x1,t1;x2,t2;…;xk,tk) = w(x1,t1+ ;…;xk,tk+ ) , для любого τ .
Для эргодического процесса усреднение по статистике совпадает с усреднением по времени:
lim K x ( τ )=0 .
τ →∞
21 из 27
Для эргодического процесса усреднение по множеству (статистике) может быть заменено усреднением по времени, а, следовательно, значение спектра (спектральной плотности мощности) процесса G(w) связано со спектральной плотностью сигнала S(jw) соотношением:
G(ω)= lim |
|S ( jω)|2 |
, |
T →∞ |
πT |
|
где T- время наблюдения процесса.
Используя вычисленную функцию корреляции можно определить спектр (спектральную плотность мощности) стационарного случайного процесса, используя теорему Винера-Хинчина:
∞ |
|
|
Gx (ω)=∫ K x (τ )e− j ωτ dτ ; |
(23) |
|
−∞ |
∞ |
|
K x (τ )=21π |
∫ Gx (ω)e jωτ dω. |
|
|
−∞ |
|
22 из 27
Под эффективной шириной спектра случайного процесса с неравномерной спектральной плотностью мощности понимается полоса частот, удовлетворяющая
|
|
∞ |
|
|
|
соотношению: |
|
∫G(ω)dω |
|
K ( τ=0 ) |
|
Ωэф= |
0 |
= |
. |
||
Gmax |
Gmax |
Случайный процесс, спектр которого непрерывен и сосредоточен возле некоторой фиксированной частоты w0, а также выполняется условие:
ωΩ 1 , называется узкополосным.
0
Используя понятие эффективной ширины спектра можно установить следующую связь между ее значением и интервалом корреляции случайного процесса:
πG(0 ) |
|
||
τкор= 2 G |
max |
Ω |
, |
|
эф |
|
|
где Gmax, G(0) – значение спектральной плотности мощности процесса в точке максимума и в точке w = 0.
23 из 27
Примеры корреляционных функций типовых случайных процессов.
1. Для белого гауссовского шума, определяемого как нормальный случайный процесс x(t), его значения в сколь угодно близкие моменты времени остаются не коррелированными, т.е. имеют корреляционную функцию вида:
K x (t1 ,t2 )=N (t1)δ (t2−t1 ), |
(24) |
где N(t)- интенсивность БГШ, являющаяся постоянной для стационарного случая и равной единице для стандартного БГШ;
∞,приt1=t2 ; |
} |
- дельтафункция. |
δ (t2−t1)={0 ,в−остальных−случаях . |
||
Используя теорему Винера-Хинчина, получим спектральную плотность |
||
мощности БГШ: |
|
|
N |
|
|
Gx (ω)= 2 π =const . |
|
|
Из выражения (18) следует, что дисперсия БГШ |
|
σш2 =K x (0 )=∞ в силу бесконечного |
спектра Ωэф этого процесса, а интервал корреляции БГШ равен:
τкор= |
π |
=0 . |
2( Ωэф=∞) |
24 из 27
2. Экспоненциально коррелированным процессом называют процесс с функцией корреляции вида:
K x (τ )=Dx exp(−α|τ|) . |
(25) |
Соответствующая спектральная плотность мощности процесса имеет вид:
Gx (ω)= |
Dxα |
. |
(26) |
|
2 |
2 |
|||
|
π (α |
+ω ) |
|
|
3. Случайные поля.
Векторное случайное поле u(x), у которого аргумент x=(x, y, z, t) является вектором, содержащим три пространственные координаты и время t, может быть задан в рамках корреляционной теории вектором математических ожиданий mu(x)=
и матричной корреляционной функцией Ku(x1,x2).
25 из 27