Материал: ОиММПР. Лекция 3
Для случая линейного преобразования случайной величины:
у=Ax+b, соотношения для числовых характеристик векторной случайной величиныx имеют вид:
my =A mx +b,
A={aij}, b={bi},i=1 ... N , j=1 ... N ; (16) K y =[AK]x AT ;
NN
σ2yl =∑∑ a2ij K xij . i=1 j=1
Совместная плотность w ( x )=w ( y ,z) устанавливает статистическую взаимосвязь между всеми составляющими вектора x и может быть определена через
условную |
плотность распределения вероятностей w(y|z) и |
w(z|y), если вектор |
x=( y ; z) |
имеет своими компонентами случайные величины y и z. Из формулы |
|
полной вероятности имеем: |
|
|
|
w ( x )=w ( y ,z)=w ( y|Z )w( z)=w (z|Y )w ( y ) , |
(17) |
|
|
16 из 27 |
Для условных плотностей распределения справедлива формула Байеса— формула позволяющая переоценить вероятность гипотез (предположений, условий) после того, когда стали известны результаты испытаний или экспериментов:
w( y|Z )=w∞( x )
∫w( z|Y )w ( y )dy
−∞
w(z|Y )=w∞(x )
∫w( y|Z )w (z )dz
−∞
=w∞( y )w ( z|Y ) |
|
; |
∫ w( z|Y )w ( y)dy |
(18) |
|
−∞ |
|
|
=w∞( z)w( y|Z ) |
. |
|
∫ w( y|Z )w ( z)dz |
|
|
−∞
Если вектор x состоит из N независимых случайных величин, то
N
w ( x)=∏ w( xi ). (19)
i=1
17 из 27
2 . Случайные процессы.
Процесс изменения во времени некоторой случайной величины называется случайным процессом. Примером случайного процесса может служить изменение амплитуды, фазы и частоты сигнала на выходе канала связи. Одна из реализаций этого процесса изменения амплитуды сигнала представлена на рис.1.
18 из 27
Для удобства статистического описания случайного процесса его можно рассматривать как множество случайных величин, соответствующих различным моментам времени на рассматриваемом интервале:
x (t )=[ x (t1 ),..., x (tk ), ... ,x (tN )],[t1 , ... ,t N ].
И полным статистическим описанием случайного процесса будет его многомерная плотность распределения вероятностей значений процесса во всех временных сечениях внутри заданной временной области:
w (x (t ),t )=w ( x1 ,t1 ;... ; xk ,tk ;...; x N ,tN ). |
(20) |
•Наиболее распространенными моделями случайных процессов являются:
•процессы с независимыми приращениями;
•нормальные случайные процессы;
•марковские процессы.
19 из 27
Случайный процесс называют процессом с независимыми приращениями, если для любых сечений времени, внутри заданного временного интервала, приращения процесса являются независимыми случайными величинами.
Случайный процесс, у которого n-мерная плотность распределения вероятностей является гауссовской, называется нормальным.
Случайный процесс относится к классу марковских, если для его n-мерной плотности распределения выполняется условие:
w (xk ,tk|X1 ,t1 ;... ; Xk −1 ,tk −1 )=w ( xk ,tk|Xk −1 ,tk −1 ) |
(21) |
Для стационарных в широком смысле процессов выполняется постоянство во времени его моментов: среднего и дисперсии, а также инвариантность к временному сдвигу корреляционной функции:
|
∞ |
|
mx (t )=∫ x(t )w( x(t ),t )dx=mx (t−τ )=mx ; |
|
|
|
−∞ |
|
|
∞ |
|
σ2x (t )=∫ ( x(t )−mx (t ))2 w( x (t ),t )dx=σ2x (t−τ )=σ x2 ; |
(22) |
|
|
−∞ ∞ ∞ |
|
K (t1 |
,t2 )=∫ ∫ [ x (t1 )−mx (t1)][ x(t2 )−mx (t2 )]× |
|
|
−∞ −∞ |
|
w (x (t1 ),t1 ; x(t2 ),t2 )dx1 dx2=K (t1−τ ,t2−τ )=K (t2−t1 ) |
|
|
20 из 27