Материал: ОиММПР. Лекция 3
Виды распределения и параметры случайных величин, случайных процессов и полей.
1. Случайные величины.
Значения случайной величины xi , i=1…N, которые она принимает в отдельных опытах, называются реализациями случайной величины.
Случайные величины бывают скалярными и векторными. Полной характеристикой случайной скалярной величины x является плотность распределения вероятностей ее значений w(x), интеграл от которой называют интегральной функцией распределения
|
X |
|
|
|
F(x)=P(x X )=∫ w(x )dx . |
|
|
|
−∞ |
|
|
со следующими свойствами: |
|
|
|
1. |
значения функции [0;1] , иначе 0 F (x ) 1 , |
или lim F (x)=0 , lim F (x)=1 |
|
|
|
x →−∞ |
x→∞ |
2. |
функция F(x) - неубывающая F(x2 ) F (x1), если |
x2 x1 |
|
6 из 27
Плотность скалярной величины обладает следующими свойствами:
w(x )≥0 ; |
(1) |
w(−∞)=w(∞)=0 ; |
|
∞ |
|
∫ w (x)dx=1 . |
|
−∞
Статистические свойства векторной случайной величины полностью описываются совместной плотностью распределения вероятностей:
w( x )=w ( x1 ,x2 , ... , xN ) ,
аее интегральная функция распределения имеет вид:
F( x X )= w(x1 ,x2 ,.... , xN )dx1 dx2 ... dx N |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
Математическим ожиданием (средним) случайной величины называют |
|||
начальный момент первого порядка: |
|
|
|
∞ |
|
|
|
M [ x ]=mx= ∫ xw( x )dx . |
|
(3) |
|
−∞ |
|
|
|
Оценка начальных моментов ms (x )= |
N |
, где s=1, 2, 3, . . . - порядок момента; |
|
1 ∑ xis |
|||
|
N i=1 |
|
|
N — количество реализаций случайной величины.
7 из 27
Средневзвешенное отклонение центрированной случайной величины может быть определено следующим образом:
∞
mΔx=−∞∫ ( x−mx )w ( x )dx . (4)
момент второго порядка:
∞
M2 (Δx)=Dx=σ2x= ∫ ( x−mx )2 w( x )dx (5)
−∞
называется дисперсией случайной величины, характеризующей степень разброса значения случайной величины относительно своего среднего значения. Наряду с дисперсией мерой рассеяния случайной величины является ее
среднеквадратическое отклонение
σ x =√Dx или |
σx=√(m2−m12 ) . |
Оценка центральных моментов Ms (Δ x )= |
N |
1 ∑( xi −ms−1)s . |
|
|
N i=1 |
8 из 27
Мерой статистической взаимосвязи двух скалярных центрированных случайных величин может служить взаимный корреляционный момент:
∞ ∞ |
|
K xy=M [ Δx Δy ]= ∫ ∫ ( x−mx )( y−m y )w (x , y )dx dy . |
(6) |
−∞ −∞ |
|
Для отражения статистической связи значений одной и той же центрированной случайной величины служит момент автокорреляции.
Нормированный корреляционный момент – коэффициент корреляции:
K xy |
,σ x ≥0,σ y≥0 . |
(7) |
rxy= σ x σ y |
При этом,
если две СВ x и y связаны линейно, то rxy=1 (либо –1);
если эти величины оказываются некоррелированными, то rxy=0.
9 из 27
Распределения вероятностей случайных дискретных и непрерывных величин:
Биномиальное распределение — дискретное распределение когда случайная величина имеет всего два значения 0 или 1 — событие наступило либо не наступило (бернуллиевская схема).
P(k )=Cnk pk qn−k , k=0,... ,n ;q=1− p; p≥0 , M (k )=np, D(k )=npq . |
(8) |
Здесь n - число проведенных испытаний (опытов), |
p - вероятность |
наступления события в одном опыте, k - число наступивших событий в n опытах. Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного
типа, показывает случайную величину, представляющую число событий произошедших за фиксированное время — играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
P(k )= ak |
exp(−a),a>0 ,k =0,1, ... ,M (k )=a ,D( k )=a . |
(9) |
k ! |
|
|
10 из 27